Упражнение 222 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \((x^{2} + 3)^{2} - 11(x^{2} + 3) + 28 = 0\)

Пусть \( x^{2} + 3 = y\).

\(y^{2} - 11y + 28 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = -11\),  \(c = 28\)

\(D = b^2 - 4ac = \)

\(=(-11)^2 - 4 \cdot1 \cdot 28 =\)

\( = 121 - 112 = 9 > 0\) - уравнение имеет 2 корня.

\(y_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt D}{2a},\)   \(\sqrt D = 3\).

\(y_{1} = \dfrac{11 + 3}{2\cdot1} = \dfrac{14}{2} = 7. \)

\(y_{2} = \dfrac{11 - 3}{2\cdot1} = \dfrac{8}{2} = 4. \)

1) Если \(y = 7\), то

\(x^{2} + 3 = 7\)

\(x^{2} = 7 - 3\)

\(x^{2} = 4\)

\(x = \pm \sqrt4\)

\(x = \pm 2\)

2) Если \(y = 4\), то

\(x^{2} + 3 = 4\)

\(x^{2} = 4 - 3\)

\(x^{2} = 1\)

\(x = \pm\sqrt1\)

\(x = \pm 1\)

Ответ: \(x = -2,\; -1,\; 1,\; 2.\)

б) \((x^{2} - 4x)^{2} + 9(x^{2} - 4x) + 20 = 0\)

Пусть \(x^{2} - 4x = y\).

\(y^{2} + 9y + 20 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = 9\),  \(c = 20\)

\(D = b^2 - 4ac = \)

\(= 9^2 - 4 \cdot1 \cdot 20 =\)

\( =81 - 80 = 1 > 0\) - уравнение имеет 2 корня.

\(y_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt D}{2a},\)   \(\sqrt D = 1\).

\(y_{1} = \dfrac{-9 + 1}{2\cdot1} = \dfrac{-8}{2} = -4. \)

\(y_{2} = \dfrac{-9 - 1}{2\cdot1} = \dfrac{-10}{2} = -5. \)

1) Если \(y = -5\), то

\(x^{2} - 4x = -5\)

\(x^{2} - 4x + 5 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = -4\),  \(c = 5\)

\(D = b^2 - 4ac = \)

\(=(-4)^2 - 4\cdot1\cdot5 =\)

\(=16 - 20 = -4 < 0\) — нет действительных корней.

2) Если \(y = -4\), то

\(x^{2} - 4x = -4\)

\(x^{2} - 4x + 4 = 0\)

\((x - 2)^{2} = 0\)

\(x - 2 = 0\)

\(x = 2\)

Ответ: \(x = 2.\)

в) \((x^{2} + x)(x^{2} + x - 5) = 84\)

Пусть \(x^{2} + x=y\).

\(y(y - 5) = 84\)

\(y^{2} - 5y - 84 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = -5\),  \(c = -84\)

\(D = b^2 - 4ac = \)

\(=(-5)^2 - 4\cdot1\cdot(-84) =\)

\(=25 + 336 =361 > 0\) - уравнение имеет 2 корня.

\(y_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt D}{2a},\)   \(\sqrt D = 19\).

\(y_{1} = \dfrac{5 + 19}{2\cdot1} = \dfrac{24}{2} = 12. \)

\(y_{2} = \dfrac{5 - 19}{2\cdot1} = \dfrac{-14}{2} = -7. \)

1) Если \(y = 12\), то

\(x^{2} + x = 12\)

\(x^{2} + x - 12 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = 1\),  \(c = -12\)

\(D = b^2 - 4ac = \)

\(=1^2 - 4\cdot1\cdot(-12) =\)

\(=1 + 48 =49 > 0\) - уравнение имеет 2 корня.

\(x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt D}{2a},\)   \(\sqrt D = 7\).

\(x_{1} = \dfrac{-1 + 7}{2\cdot1} = \dfrac{6}{2} = 3. \)

\(x_{2} = \dfrac{-1 - 7}{2\cdot1} = \dfrac{-8}{2} = -4. \)

2) Если \(y = -7\), то

\(x^{2} + x = -7\)

\(x^{2} + x + 7 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = 1\),  \(c = 7\)

\(D = b^2 - 4ac = \)

\(=1^2 - 4\cdot1\cdot7 =\)

\(=1 - 28 = -27 < 0\)  — нет действительных корней.

Ответ: \(x = -4,\; x = 3.\)

Пояснения:

В этих уравнениях неоднократно встречаются одни и те же выражения в разных степенях или в произведении. Это позволяет использовать приём введения новой переменной.

Если уравнение содержит повторяющееся выражение, например \(x^{2} + 3\) или \(x^{2} - 4x\), удобно обозначить его через новую переменную:

\( y = x^{2} + 3,\)

\(y = x^{2} - 4x,\)

\(y = x^{2} + x. \)

Тогда исходное уравнение превращается в квадратное по \(y\).

Формула корней квадратного уравнения.

Для уравнения \(\;az^{2} + bz + c = 0\;\) используется формула:

\( D = b^{2} - 4ac,\)

\(z_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}. \)

 После нахождения значений \(y\) обязательно возвращаемся к исходной переменной \(x\): решаем уравнения вида

\( x^{2} + 3 = y,\)

\(x^{2} - 4x = y,\)

\(x^{2} + x = y. \)

Эти уравнения тоже квадратные по \(x\) и решаются стандартно; при отрицательном дискриминанте действительных корней нет, такие случаи отбрасываются.

а) \(3x^2 - 4x + 5=\)

\(=3(x^2 -\tfrac43x + \tfrac53)=\)

\(=3((x^2-2\cdot\tfrac46x + \tfrac{16}{36}) - \tfrac{16}{36} + \tfrac53)=\)

\(=3((x - \tfrac46)^2 - \tfrac{4}{9} + \tfrac53)=\)

\(=3(x - \tfrac23)^2 - \tfrac{4}{3} + 5=\)

\(=3(x - \tfrac23)^2 - 1\tfrac{1}{3} + 5=\)

\(=3(x - \tfrac23)^2 + 3\tfrac{2}{3}\).

Наименьшее значение \(3\tfrac{2}{3}\) при \(x = \tfrac23\).

Ответ: наименьшее значение \(3\tfrac{2}{3}\).

б) \(-3x^2 + 12x = -3(x^2 -4x)=\)

\(=-3((x^2 - 2\cdot2x + 4) - 4)=\)

\(=-3((x - 2)^2 -4) =\)

\(=-3(x-2)^2 +12\)

Наибольшее значение \(12\) при \(x = 2\).

Ответ: наибольшее значение \(12\)

Пояснения:

Чтобы определить наибольшее или наименьшее значение квадратного трёхчлена, использовали выделение полного квадрата, для этого вынесли коэффициент при \(x^2\) за скобку, если он есть, затем добавили и вычли недостающий член для квадрата двучлена и использовали одну из формул:

- квадрат суммы двух выражений:

\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\).

- квадрат разности двух выражений:

\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).

После выделения квадрата двучлена, наименьшее или наибольшее значение квадратного трехчлена будет наименьшим или наибольшим в том случае, когда значение двучлена равно нулю.