Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№84 учебника 2023-2026 (стр. 29):
Установите соответствие между точками, отмеченными на координатной прямой (рис. 6, a), и числами \(\sqrt{11}\), \(\dfrac{123}{23}\), \(\left(1\dfrac{2}{3}\right)^2\), \((0{,}8)^{-1}\).
№84 учебника 2014-2022 (стр. 30):
Сократите дробь:
а) \(\dfrac{x^{2}-11x+24}{x^{2}-64}\);
б) \(\dfrac{2y^{2}+9y-5}{4y^{2}-1}\).
№84 учебника 2023-2026 (стр. 29):
№84 учебника 2014-2022 (стр. 30):
Вспомните:
№84 учебника 2023-2026 (стр. 29):
\((0{,}8)^{-1} = \dfrac{1}{0{,}8} = 1{,}25\Rightarrow A\bigl( (0{,}8)^{-1}\bigr)\)
\(\left(1\dfrac{2}{3}\right)^2=\left(\dfrac{5}{3}\right)^2 = \dfrac{25}{9}=2\dfrac{7}{9}\Rightarrow B \biggl(\left(1\dfrac{2}{3}\right)^2\biggr).\)
\(\sqrt{9} <\sqrt{11} <\sqrt{16}\Rightarrow 3 <\sqrt{11} <4\) \(\Rightarrow C\bigl( \sqrt{11}\bigr).\)
\(D\left(\dfrac{123}{23}\right).\)
Пояснения:
Для решения необходимо:
1. Вычислить или приблизить значения всех четырёх выражений.
2. Использовать координатную прямую и определить, в каком интервале лежит каждая точка.
3. Сравнить вычисленные значения с положением точек на оси.
Так как все выражения — положительные числа, задача сводится к анализу промежутков между целыми числами.
Итоговое соответствие:
A → \((0{,}8)^{-1}\)
B → \(\left(\dfrac{5}{3}\right)^2\)
C → \(\sqrt{11}\)
D → \(\dfrac{123}{23}\)
№84 учебника 2014-2022 (стр. 30):
а) \( \dfrac{x^{2}-11x+24}{x^{2}-64} =\)
\(=\dfrac{\cancel{(x-8)}(x-3)}{\cancel{(x-8)}(x+8)} =\)
\(=\dfrac{x-3}{x+8}\)
\(x^{2}-11x+24=0\)
\(a=1,\ b=-11,\ c=24\).
\(D=b^{2}-4ac=\)
\(=(-11)^2 - 4\cdot1\cdot24 =\)
\(=121 - 96 = 25\), \(\sqrt D = 5\).
\(x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt D}{2a}\)
\(x_1=\dfrac{-(-11)+5}{2\cdot1}=\frac{16}{2}=8\),
\(x_2=\dfrac{-(-11)-5}{2\cdot1}=\frac{6}{2}=3\).
\(x^{2}-11x+24=(x - 8)(x - 3)\).
б) \( \dfrac{2y^{2}+9y-5}{4y^{2}-1} =\)
\(=\dfrac{\cancel{(2y-1)}(y+5)}{\cancel{(2y-1)}(2y+1)} =\)
\(=\dfrac{y+5}{2y+1} \)
\(2y^{2}+9y-5=0\)
\(a=2,\ b=9,\ c=-5\).
\(D=b^{2}-4ac=9^2 -4\cdot2\cdot(-5)=\)
\(=81 + 40 = 121\), \(\sqrt D = 11\).
\(y_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt D}{2a}\)
\(y_1=\dfrac{-9+11}{2\cdot2}=\frac{2}{4}=\frac12\),
\(y_1=\dfrac{-9-11}{2\cdot2}=\frac{-20}{4}=-5\).
\(2y^{2}+9y-5=2(y - \frac12)(y+5)=\)
\(=(2y-1)(y+5)\).
Пояснения:
Чтобы сократить дробь, раскладываем ее числитель и знаменатель на множители,если это возможно, и сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя.
Использованные приемы:
1) Если квадратный трехчлен
\(ax^2 + bx+c\) имеет корни, то его можно разложить на множители
\(ax^2 + bx+c=a(x - x_1)(x-x_2)\),
где \(x_1\) и \(x_2\) - корни квадратного трёхчлена.
2) Разность квадратов двух выражений:
\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\).
3) Свойство степени:
\((ab)^n = a^nb^n\).
Вернуться к содержанию учебника