Упражнение 86 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

I способ:

а) \(\left(\frac{2}{3}\right) ^{-4} = \left(\frac{3}{2}\right)^{4}\)

\(\frac{2}{3}= \left(\frac{3}{2}\right)^{-1} \)

\(\frac{3}{2}>1\), следовательно, чем больше степень, тем больше число.

\(4>0>-1>-4\)

\(\left(\frac{3}{2}\right)^{4}> \left(\frac{3}{2}\right)^{0}> \left(\frac{3}{2}\right)^{-1}>\left(\frac{3}{2}\right)^{-4}\)

Порядок убывания: \(\left(\frac{2}{3}\right)^{-4},\ \left(\frac{3}{2}\right)^{0},\ \frac{2}{3},\ \left(\frac{3}{2}\right)^{-4}\).

Ответ: \(\left(\frac{2}{3}\right)^{-4},\ \left(\frac{3}{2}\right)^{0},\ \frac{2}{3},\ \left(\frac{3}{2}\right)^{-4}\).

б) \(2,5>1\), следовательно, чем больше степень, тем больше число.

\(1>0> -3> -5.\)

Порядок убывания:

\(2{,}5,\ (2{,}5)^0,\ (2{,}5)^{-3},\ (2{,}5)^{-5}.\)

Ответ: \(2{,}5,\ (2{,}5)^0,\ (2{,}5)^{-3},\ (2{,}5)^{-5}.\)

в) \(\left( \frac{4}{9}\right)<1\), следовательно, чем меньше степень, тем больше число.

\(-6<-5<0<1\)

Порядок убывания:

\(\left(\frac{4}{9}\right)^{-6},\ \left(\frac{4}{9}\right)^{-5}, \left(\frac{4}{9}\right)^{0},\ \frac{4}{9}.\)

Ответ: \(\left(\frac{4}{9}\right)^{-6},\ \left(\frac{4}{9}\right)^{-5}, \left(\frac{4}{9}\right)^{0},\ \frac{4}{9}.\)

II способ:

а) \(\left(\frac{2}{3}\right) ^{-4} = \left(\frac{3}{2}\right)^{4} = \frac{81}{16}\)

\(\left(\frac{3}{2}\right)^{-4} = \left(\frac{2}{3}\right)^4 =\frac{16}{81}\)

\(\frac{2}{3}=\frac{54}{81}\)

\(\left(\frac{3}{2}\right)^{0} = 1\)

\(\frac{81}{16}>1>\frac{54}{81}>\frac{16}{81}\)

Порядок убывания: \(\left(\frac{2}{3}\right)^{-4},\ \left(\frac{3}{2}\right)^{0},\ \frac{2}{3},\ \left(\frac{3}{2}\right)^{-4}\).

Ответ: \(\left(\frac{2}{3}\right)^{-4},\ \left(\frac{3}{2}\right)^{0},\ \frac{2}{3},\ \left(\frac{3}{2}\right)^{-1}\).

б) \((2{,}5)^{-3} =\left(\frac{25}{10}\right)^{-3} =\left(\frac{5}{2}\right)^{-3}=\)

\(=\left(\frac{2}{5}\right)^{3}=\frac{8}{125}=0,064\)

\((2{,}5)^{-5} =\left(\frac{25}{10}\right)^{-5} =\left(\frac{5}{2}\right)^{-5} =\)

\(=\left(\frac{2}{5}\right)^{5}=\frac{32}{3125}=0,01024\)

\(2{,}5;\) \((2{,}5)^0 = 1\)

\(2{,}5>1> 0,064> 0,01024.\)

Порядок убывания:

\(2{,}5,\ (2{,}5)^0,\ (2{,}5)^{-3},\ (2{,}5)^{-5}.\)

Ответ: \(2{,}5,\ (2{,}5)^0,\ (2{,}5)^{-3},\ (2{,}5)^{-5}.\)

в) \(\left( \frac{4}{9}\right)^{-5} = \left(\frac{9}{4}\right)^{5}\)

\(\left( \frac{4}{9}\right)^{-6} = \left(\frac{9}{4}\right)^{6}\)

Так как \(\frac{9}{4} > 1\), то степень с большим показателем — больше.

\(\left(\frac{4}{9}\right)^{0} = 1\)

\(\frac{4}{9}<1\)

\(\left(\frac{9}{4}\right)^{6}> \left(\frac{9}{4}\right)^{5}> \left(\frac{4}{9}\right)^{0}> \frac{4}{9}.\)

Порядок убывания:

\(\left(\frac{4}{9}\right)^{-6},\ \left(\frac{4}{9}\right)^{-5}, \left(\frac{4}{9}\right)^{0},\ \frac{4}{9}.\)

Ответ: \(\left(\frac{4}{9}\right)^{-6},\ \left(\frac{4}{9}\right)^{-5}, \left(\frac{4}{9}\right)^{0},\ \frac{4}{9}.\)

Пояснения:

1. Для любого числа \(a\), не равного нулю, и натурального числа \(n\) справедливо равенство: \( a^{-n} = \frac{1}{a^n}. \)

2. Для любого числа \(a\), неравного нулю \( a^0 = 1.\)

3. Сравнение степеней.

При \(a>1\): если степень больше, то число больше.

При \(0<a<1\):  если степень больше, то число меньше.

\(y = x - 4\) - прямая, область определения которой все числа.

\(y=\dfrac{x^{2}-6x+8}{x-2}=\)

\(=\dfrac{\cancel{(x-2)}(x-4)}{\cancel{x-2}}=\)

\(=x-4,\quad x\ne2 \) - прямая, область определения все числа, кроме 2.

\(x^{2}-6x+8 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = -6\),  \(c=8\)

\(D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4\cdot1\cdot8 =\)

\( = 36 - 32 = 4\),   \(\sqrt D = 2\).

\(x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt D}{2a}\)

\(x_1=\dfrac{-(-6)+2}{2\cdot1}=\frac{8}{2}=4\),

\(x_2=\dfrac{-(-6)-2}{2\cdot1}=\frac{4}{2}=2\).

\(x^{2}-6x+8 = (x-4)(x-2)\).

Ответ: это одна и та же прямая, но у второй функции на ней «выколота» точка \((2,-2)\).

Пояснения:

Чтобы определить чем различаются графики функций

\(y = x - 4\) и \(y=\dfrac{x^{2}-6x+8}{x-2}\),

преобразуем вторую функцию (сократим дробь).

Чтобы сократить дробь, раскладываем ее числитель на множители, и сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя.

Если квадратный трехчлен

\(ax^2 + bx+c\) имеет корни, то его можно разложить на множители

\(ax^2 + bx+c=a(x - x_1)(x-x_2)\),

где  \(x_1\) и \(x_2\) - корни квадратного трёхчлена.

Поэтому при разложении в числителе получили:

\(x^{2}-6x+8=(x-2)(x-4)\) и сократили общий множитель числителя и знаменателя \(x-2\). Однако при сокращении нужно учитывать область допустимых значений: в исходной дроби \(x\ne2\), поэтому после сокращения получаем тождество

\(y=x-4\) только для \(x\ne2\).

— У первой функции область определения — все \числа, график — непрерывная прямая, содержащая точку \((2,-2)\).

— У второй функции область определения — все числа, кроме 2; в точке \(x=2\) функция не определена, поэтому на прямой \(y=x-4\) "выколота" точка \((2,-2)\).