Упражнение 83 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(7=\sqrt{49};  4\sqrt{3}=\sqrt{16\cdot 3}=\sqrt{48}\)

\(\sqrt{49} >\sqrt{48} \Rightarrow 7 > 4\sqrt{3}. \)

Значит, \(7 - 4\sqrt{3}>0.\)

\(4=\sqrt{16}; 2\sqrt{3}=\sqrt{4\cdot3}=\sqrt{12}\)

\(\sqrt{16}>\sqrt{12} \Rightarrow 4 > 2\sqrt{3}.\)

Значит, \(4 - 2\sqrt{3}>0.\)

 \(\sqrt{(7 - 4\sqrt{3})^2} - \sqrt{(4 - 2\sqrt{3})^2}=\)

\( = |7 - 4\sqrt{3}|- |4 - 2\sqrt{3}|=\)

\( =7 - 4\sqrt{3}- (4 - 2\sqrt{3})=\)

\( =7 - 4\sqrt{3}- 4 + 2\sqrt{3}=3- 2\sqrt{3}.\)

Ответ: выражение является иррациональным числом. 

б) \(37=\sqrt{1369};\)

\( 12\sqrt{7}=\sqrt{144\cdot7}=\sqrt{1008}\)

\(\sqrt{1369}>\sqrt{1008}\Rightarrow37>12\sqrt{7}.\)

Значит, \(37 - 12\sqrt{7}>0\)

\(\sqrt{(37 + 12\sqrt{7})^2} + \sqrt{(37 - 12\sqrt{7})^2}=\)

\(= |37 + 12\sqrt{7}|+ |37 - 12\sqrt{7}|=\)

\(=(37 + 12\sqrt{7}) + (37 - 12\sqrt{7}) =\)

\(=37 + \cancel{12\sqrt{7}} + 37 \cancel{- 12\sqrt{7}}=74-\) рациональное число.

Ответ: выражение является рациональным числом.

Пояснения:

1. Свойство квадратного корня:

\[ \sqrt{x^2} = |x|. \]

2. Раскрытие модулей для выражений с корнями.

Если выражение внутри модуля положительное — модуль равен данному выражению.

3. Рациональные и иррациональные числа.

Результат является рациональным, если после всех преобразований нет квадратных корней; если присутствуют корни — число иррациональное.

а) \(\dfrac{4x+4}{3x^{2}+2x-1}=\dfrac{4\cancel{(x+1)}}{(3x-1)\cancel{(x+1)}}=\)

\(=\dfrac{4}{3x-1}\).

\(3x^{2}+2x-1=0\)

\(a = 3\),  \(b = 2\),  \(c = -1\)

\(D=b^{2}-4ac= 2^2 - 4\cdot3\cdot(-1)=\)

\(=4 + 12 = 16\),     \(\sqrt D = 4\).

\(x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt D}{2a}\)

\(x_{1}=\dfrac{-2+4}{2\cdot3}=\frac26=\frac13\),

\(x_{2}=\dfrac{-2-4}{2\cdot3}=\frac{-6}{6}=-1\).

\(3x^{2}+2x-1=3(x-\frac13)(x+1)=\)

\(=(3x-1)(x+1)\).

б) \(\dfrac{2a^{2}-5a-3}{3a-9}=\dfrac{\cancel{(a-3)}(2a+1)}{3\cancel{(a-3)}}=\)

\(=\dfrac{2a+1}{3}\).

\(2a^{2}-5a-3=0\)

\(a = 2\),  \(b = -5\),  \(c = -3\)

\(D=b^{2}-4ac=\)

\(=(-5)^2 -4\cdot2\cdot(-3)=\)

\(=25 + 24 = 49\),     \(\sqrt D = 7\).

\(a_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt D}{2a}\)

\(a_{1}=\dfrac{-(-5)+7}{2\cdot2}=\frac{12}{4}=3\),

\(a_{2}=\dfrac{-(-5)-7}{2\cdot2}=\frac{-2}{4}=-\frac12\).

\(2a^{2}-5a-3=2(a - 3)(a + \frac12)=\)

\(=(a - 3)(2a+1)\).

в) \(\dfrac{16-b^{2}}{b^{2}-b-12}=\dfrac{(4-b)(4+b)}{(b-4)(b+3)}=\)

\(=\dfrac{-\cancel{(b-4)}(b+4)}{\cancel{(b-4)}(b+3)}=-\dfrac{b+4}{b+3}\).

\(b^{2}-b-12 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = -1\),  \(c = -12\)

\(D=b^{2}-4ac=\)

\(=(-1)^2 - 4\cdot1\cdot(-12)=\)

\(=1 + 48 = 49\),     \(\sqrt D = 7\).

\(b_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt D}{2a}\)

\(b_{1}=\dfrac{-(-1)+7}{2\cdot1}=\frac{8}{2}=4\),

\(b_{2}=\dfrac{-(-1)-7}{2\cdot1}=\frac{-6}{2}=-3\).

\(b^{2}-b-12 = (b-4)(b + 3)\).

г) \(\dfrac{2y^{2}+7y+3}{y^{2}-9}=\dfrac{(2y+1)\cancel{(y+3)}}{(y-3)\cancel{(y+3)}}=\)

\(=\dfrac{2y+1}{y-3}\).

\(2y^{2}+7y+3= 0\)

\(a = 2\),  \(b = 7\),  \(c = 3\)

\(D=b^{2}-4ac=(7)^2 - 4\cdot2\cdot3=\)

\(=49 - 24 = 25\),    \(\sqrt D = 5\).

\(y_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt D}{2a}\)

\(y_{1}=\dfrac{-7+5}{2\cdot2}=\frac{-2}{4}=-\frac12\),

\(y_{2}=\dfrac{-7-5}{2\cdot2}=\frac{-12}{4}=-3\).

\(2y^{2}+7y+3=2(y+\frac12)(y +3)=\)

\(=(2y + 1)(y+3)\).

д) \(\dfrac{p^{2}-11p+10}{20+8p-p^{2}}=\dfrac{\cancel{(p-10)}(p-1)}{-\cancel{(p-10)}(p+2)}=\)

\(=-\dfrac{p-1}{p+2}\).

1) \(p^{2}-11p+10=0\)

\(a = 1\),  \(b = -11\),  \(c = 10\)

\(D=b^{2}-4ac=\)

\(=(-11)^2 - 4\cdot1\cdot10=\)

\(=1121 - 40 = 81\),    \(\sqrt D = 9\).

\(p_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt D}{2a}\)

\(p_{1}=\dfrac{-(-11)+9}{2\cdot1}=\frac{20}{2}=10\),

\(p_{2}=\dfrac{-(-11)-9}{2\cdot1}=\frac{2}{2}=1\).

\(p^{2}-11p+10=(p-10)(p-1)\).

2) \(20+8p-p^{2}=0\)    \(/\times (-1)\)

\(p^2 - 8p - 20 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = -8\),  \(c = -20\)

\(D=b^{2}-4ac=\)

\(=(-8)^2 - 4\cdot1\cdot(-20) =\)

\( =64 +80 = 144\),    \(\sqrt D = 12\).

\(p_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt D}{2a}\)

\(p_{1}=\dfrac{-(-8)+12}{2\cdot1}=\frac{20}{2}=10\),

\(p_{2}=\dfrac{-(-8)-12}{2\cdot1}=\frac{-4}{2}=-2\).

\(20+8p-p^{2} = -(p-10)(p+2)\).

е) \(\dfrac{3x^{2}+16x-12}{10-13x-3x^{2}}=\dfrac{\cancel{(3x-2)}(x+6)}{-\cancel{(3x-2)}(x+5)}=\)

\(-\dfrac{x+6}{x+5}\).

1) \(3x^{2}+16x-12 = 0\)

\(a = 3\),  \(b = 16\),  \(c = -12\)

\(D=b^{2}-4ac=\)

\(=16^2 - 4\cdot3\cdot(-12=\)

\(=256 + 144= 400\),    \(\sqrt D = 20\).

\(x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt D}{2a}\)

\(x_{1}=\dfrac{-16+20}{2\cdot3}=\frac{4}{6}=\frac23\),

\(x_{2}=\dfrac{-16-20}{2\cdot3}=\frac{-36}{6}=-6\).

\(3x^{2}+16x-12 =\)

\(=3(x - \frac23)(x+6)=\)

\(=(3x-2)(x + 6)\).

2) \(10-13x-3x^{2} =0\)   \(/\times (-1)\)

\(3x^2 + 13x -10 = 0\)

\(a = 3\),  \(b = 13\),  \(c = -10\)

\(D=b^{2}-4ac=\)

\(=13^2 - 4\cdot3\cdot(-10)=\)

\(=169 + 120 = 289\),    \(\sqrt D = 17\).

\(x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt D}{2a}\)

\(x_{1}=\dfrac{-13+17}{2\cdot3}=\frac{4}{6}=\frac23\),

\(x_{1}=\dfrac{-13-17}{2\cdot3}=\frac{-30}{6}=-5\).

\(10-13x-3x^{2} = \)

\(=-3(x-\frac23)(x+5)=\)

\(=-(3x-2)(x+5)\).

Пояснения:

Чтобы сократить дробь, раскладываем ее числитель и знаменатель на множители,если это возможно, и сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя.

Использованные приемы:

1) Если квадратный трехчлен

\(ax^2 + bx+c\) имеет корни, то его можно разложить на множители

\(ax^2 + bx+c=a(x - x_1)(x-x_2)\),

где  \(x_1\) и \(x_2\) - корни квадратного трёхчлена.

2) Корни уравнения не изменяются, если обе его части разделить или умножить на одно и то же число.

3) Разность квадратов двух выражений:

\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\).

4) Вынесение общего множителя за скобки:

\(ka + kb = k(a +b)\).

5) Противоположные выражения:

\(a - b = -(b - a)\).