Вернуться к содержанию учебника
Докажите, что значение выражения является рациональным числом:
а) \(\small{\sqrt{(7 - 4\sqrt{3})^2} - \sqrt{(4 - 2\sqrt{3})^2}}\);
б) \(\small{\sqrt{(37 + 12\sqrt{7})^2} + \sqrt{(37 - 12\sqrt{7})^2}}\).
а) \(7=\sqrt{49}; 4\sqrt{3}=\sqrt{16\cdot 3}=\sqrt{48}\)
\(\sqrt{49} >\sqrt{48} \Rightarrow 7 > 4\sqrt{3}. \)
Значит, \(7 - 4\sqrt{3}>0.\)
\(4=\sqrt{16}; 2\sqrt{3}=\sqrt{4\cdot3}=\sqrt{12}\)
\(\sqrt{16}>\sqrt{12} \Rightarrow 4 > 2\sqrt{3}.\)
Значит, \(4 - 2\sqrt{3}>0.\)
\(\sqrt{(7 - 4\sqrt{3})^2} - \sqrt{(4 - 2\sqrt{3})^2}=\)
\( = |7 - 4\sqrt{3}|- |4 - 2\sqrt{3}|=\)
\( =7 - 4\sqrt{3}- (4 - 2\sqrt{3})=\)
\( =7 - 4\sqrt{3}- 4 + 2\sqrt{3}=3- 2\sqrt{3}.\)
Ответ: выражение является иррациональным числом.
б) \(37=\sqrt{1369};\)
\( 12\sqrt{7}=\sqrt{144\cdot7}=\sqrt{1008}\)
\(\sqrt{1369}>\sqrt{1008}\Rightarrow37>12\sqrt{7}.\)
Значит, \(37 - 12\sqrt{7}>0\)
\(\sqrt{(37 + 12\sqrt{7})^2} + \sqrt{(37 - 12\sqrt{7})^2}=\)
\(= |37 + 12\sqrt{7}|+ |37 - 12\sqrt{7}|=\)
\(=(37 + 12\sqrt{7}) + (37 - 12\sqrt{7}) =\)
\(=37 + \cancel{12\sqrt{7}} + 37 \cancel{- 12\sqrt{7}}=74-\) рациональное число.
Ответ: выражение является рациональным числом.
Пояснения:
1. Свойство квадратного корня:
\[ \sqrt{x^2} = |x|. \]
2. Раскрытие модулей для выражений с корнями.
Если выражение внутри модуля положительное — модуль равен данному выражению.
3. Рациональные и иррациональные числа.
Результат является рациональным, если после всех преобразований нет квадратных корней; если присутствуют корни — число иррациональное.
Вернуться к содержанию учебника