Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№82 учебника 2023-2026 (стр. 29):
Выясните, каким числом (рациональным или иррациональным) является значение выражения:
а) \(\dfrac{\sqrt{72}}{\sqrt{50}}\);
б) \((\sqrt{24}-\sqrt{54})\cdot \sqrt{12}\);
в) \((3-\sqrt{5})^2 + (3+\sqrt{5})^2\);
г) \((\sqrt{13}+\sqrt{8})^2\).
№82 учебника 2014-2022 (стр. 30):
Покажите, что существует квадратный трёхчлен, имеющий корни, коэффициенты которого — натуральные числа вида \(n,\;2n,\;3n\) (расположенные в произвольном порядке). Разложите этот трёхчлен на множители.
№82 учебника 2023-2026 (стр. 29):
№82 учебника 2014-2022 (стр. 30):
Вспомните:
№82 учебника 2023-2026 (стр. 29):
а) \(\dfrac{\sqrt{72}}{\sqrt{50}} = \sqrt{\dfrac{72}{50}} = \sqrt{\dfrac{36}{25}} = \dfrac{6}{5}\)
Ответ: рациональное число.
б) \((\sqrt{24}-\sqrt{54})\cdot \sqrt{12} =\)
\(=\sqrt{24}\cdot\sqrt{12}-\sqrt{54}\cdot \sqrt{12} =\)
\(=\sqrt{24\cdot12}-\sqrt{54\cdot12} =\sqrt{288} - \sqrt{648} =\)
\(=12\sqrt{2} - 18\sqrt{2} = -6\sqrt{2}\)
Ответ: иррациональное число.
в) \((3-\sqrt{5})^2 + (3+\sqrt{5})^2=\)
\( = 9 \cancel{- 6\sqrt{5}} + 5 + 9 + \cancel{6\sqrt{5}} + 5 =28\)
Ответ: рациональное число.
г) \((\sqrt{13}+\sqrt{8})^2 = 13 + 8 + 2\sqrt{104} =\)
\(=21 + 4\sqrt{26}.\)
Ответ: иррациональное число.
Пояснения:
Свойство корней:
\[ \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}. \]
Использовано в пункте (а).
\[ \sqrt{a}\cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}. \]
Применено в пункте (б).
Формула квадрата суммы и разности:
\( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)
\((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \)
Использовано в пунктах (в), (г).
Рациональные и иррациональные числа.
Результат является рациональным, если после всех преобразований нет квадратных корней; если присутствуют корни — число иррациональное.
№82 учебника 2014-2022 (стр. 30):
\(ax^2 + bx+c=0\)
Пусть \(a=n\), \(b=3n\), \(c=2n\)
\(nx^{2}+3nx+2n=0\)
\(D=b^{2}-4ac=(3n)^{2}-4\cdot n\cdot 2n=\)
\(=9n^{2}-8n^{2}=n^{2},\) \(\sqrt D = n\)
\(x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\)
\(x_1=\dfrac{-3n+ n}{2n}=\dfrac{-2n}{2n}=-1\)
\(x_{2}=\dfrac{-3n- n}{2n}=\dfrac{-4n}{2n}=-2.\)
\(nx^{2}+3nx+2n=n(x+1)(x+2)\).
Пояснения:
Если квадратный трехчлен
\(ax^2 + bx+c\) имеет корни, то его можно разложить на множители
\(ax^2 + bx+c=a(x - x_1)(x-x_2)\),
где \(x_1\) и \(x_2\) - корни квадратного трёхчлена.
Чтобы квадратный трёхчлен
\(ax^{2}+bx+c\) имел корни, нужно
\(D=b^{2}-4ac\ge0\).
Среди чисел \(n,2n,3n\) наибольшее — \(3n\). Если поставить \(b=3n\), а \(a\) и \(c\) взять равными \(n\) и \(2n\) (в любом порядке), то
\( D=(3n)^{2}-4\cdot(n)\cdot(2n)=\)
\(=9n^{2}-8n^{2}=n^{2}\ge0, \)
следовательно, такие трёхчлены имеют корни и их можно разложить на множители.
Вернуться к содержанию учебника