Упражнение 79 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Пояснения:

Чтобы понять, где расположены точки, нужно опираться на свойства координатной прямой.

При  этом заметим, что на рис. а число \(a\) больше нуля и меньше единицы.  На на рис. б расстояние от \(a\) до \(1\), равно удвоенному расстоянию от \(-2\) до \(a\), следовательно, нуль находится посередине между \(a\) до \(1\), а значит, \(a=-1\).

1. Умножение координаты.

Если число умножается на 2, его точка на прямой отдаляется от нуля в 2 раза:

а) \(a>0;  2a > a \Rightarrow\) точка \(2a\) находится правее точки \(a\) на расстоянии  \(2a\) от нуля.

б)  \(a<0;  2a < a \Rightarrow\) точка \(2a\) находится левее точки \(a\) и совпадает с точкой \(-2\).

2. Противоположные числа.

Числа \(a\) и \(-a\) лежат по разные стороны от нуля и равноудалены от него:

3. Прибавление числа.

Добавление 1 смещает точку на одну единицу вправо:

\[ a + 1 > a. \]

4. Вычитание числа.

Вычитание 2 смещает точку на две единицы влево:

\[ a - 2 < a. \]

а) \(10x^{2}+19x-2=10(x-0{,}1)(x+2)\)

\(10x^{2}+19x-2=0\)

\(a = 10\),  \(b = 19\),  \(c = -2\)

\(D = b^2 - 4ac =\)

\(=19^{2}-4\cdot10\cdot(-2)=\)

\(=361+80=441,\)    \( \sqrt D=21. \)

\(x_{1,2}= \frac{-b\pm\sqrt D}{2a}\)

\( x_{1}=\frac{-19+21}{2\cdot10}=\frac{2}{20}=\frac{1}{10}=0{,}1\),

\(x_{2}=\frac{-19-21}{2\cdot10}=\frac{-40}{20}=-2\).

\( 10x^{2}+19x-2=10(x-0{,}1)(x+2). \)

Тождество доказано.

б) \(0{,}5(x-6)(x-5)=0{,}5x^{2}-5{,}5x+15\)

\(0{,}5x^{2}-5{,}5x+15 = 0\)   \(/\times(2)\)

\(x^{2}-11x+30 = 0\) 

\(a = 1\),  \(b = -11\),  \(c = 30\)

\( D=b^2-4ac=\)

\(=(-11)^{2}-4\cdot1\cdot30=\)

\(=121-120=1\)   \( \sqrt D=1\).

\(x_{1,2}= \frac{-b\pm\sqrt D}{2a}\)

\( x_{1,2}=\frac{-(-11)+1}{2\cdot1}=\frac{12}{2}=6\),

\(x_{2}=\frac{-(-11)-1}{2\cdot1}=\frac{10}{2}=5\).

\( 0{,}5x^{2}-5{,}5x+15=0{,}5(x-6)(x-5). \)

Тождество доказано.

Пояснения:

Чтобы доказать тождество, трехчлен, стоящий с левой или с правой стороны равенства, раскладываем на множители.

Использованные приемы:

1) Если квадратный трехчлен

\(ax^2 + bx+c\) имеет корни, то его можно разложить на множители

\(ax^2 + bx+c=a(x - x_1)(x-x_2)\),

где  \(x_1\) и \(x_2\) - корни квадратного трёхчлена.

2) Корни уравнения не изменяются, если обе его части разделить или умножить на одно и то же число.

3) При решении уравнений сначала находим дискриминант \(D = b^2 - 4ac\), чтобы определить количество корней. При \(D>0\) уравнение имеет два корня.

4) Корни квадратных уравнений находим по основным формулам корней:

\(x_{1,2}= \frac{-b\pm\sqrt D}{2a}\).