Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№81 учебника 2023-2026 (стр. 29):
Сколько целых чисел расположено между числами:
а) \(-5\sqrt{6}\) и \(\sqrt{83}\);
б) \(3\sqrt{3}\) и \(4\sqrt{11}\);
в) \(-5\sqrt{6}\) и \(-\dfrac{1}{2}\sqrt{68}\);
г) \(-\dfrac{2}{3}\sqrt{54}\) и \(\dfrac{6}{7}\sqrt{147}\)?
№81 учебника 2014-2022 (стр. 30):
Можно ли разложить на множители квадратный трёхчлен, коэффициенты которого равные, отличные от нуля числа?
№81 учебника 2023-2026 (стр. 29):
№81 учебника 2014-2022 (стр. 30):
Вспомните:
№81 учебника 2023-2026 (стр. 29):
а) \(-5\sqrt{6} =-\sqrt{25\cdot6}=-\sqrt{150}\)
| × | 2 | 5 |
| 6 | ||
| 1 | 5 | 0 |
\(-\sqrt{150}<-\sqrt{144}\)
\(-\sqrt{150}<-12\)
\(\sqrt{81}<\sqrt{83}\)
\(9<\sqrt{83}\Rightarrow -12\le n\le 9.\)
\(n=-12; -11; -10; -9; -8; -7; -6;\)
\(-5; -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2;\)
\(3; 4; 5; 6; 7; 8; 9\)
Ответ: 22.
б) \(3\sqrt{3} =\sqrt{9\cdot3}=\sqrt{27}\)
\(\sqrt{27}<\sqrt{36}\)
\(\sqrt{27}<6\)
\(4\sqrt{11} =\sqrt{16\cdot11}=\sqrt{176}\)
\(\sqrt{169}<\sqrt{176}\)
\(13<\sqrt{176}\Rightarrow 6\le n\le 13.\)
\(n=6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13.\)
Ответ: 8.
в) \(-5\sqrt{6} =-\sqrt{25\cdot6}=-\sqrt{150}\)
\(-\sqrt{150}<-\sqrt{144}\)
\(-\sqrt{150}<-12\)
\(-\dfrac{1}{2}\sqrt{68}=-\sqrt{\dfrac{1}{4}\cdot68}=-\sqrt{17}\)
\(-\sqrt{25}<-\sqrt{17}\)
\(-5<-\sqrt{17}\Rightarrow -12\le n\le -5.\)
\(n=-12; -11; -10; -9; -8; -7; -6; -5.\)
Ответ: 8.
г) \(-\dfrac{2}{3}\sqrt{54}=-\sqrt{\dfrac{4}{9}\cdot54}=-\sqrt{24}\)
\(-\sqrt{24}<-\sqrt{16}\)
\(-\sqrt{24}<-4\)
\(\dfrac{6}{7}\sqrt{147} =\sqrt{\dfrac{36}{49}\cdot147}=\sqrt{108}\)
\(\sqrt{100}<\sqrt{108}\)
\(10<\sqrt{108}\Rightarrow -4\le n\le 10\)
\(n=-4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10.\)
Ответ: 15.
Пояснения:
Чтобы сравнить выражения вида \(a\sqrt{m}\) и \(b\sqrt{n}\) с целым числом, можно внести множитель, стоящий перед корнем, под знак корня: \(\sqrt{m\cdot a^2}\) и \(\sqrt{n\cdot b^2}\). Затем сравниваем полученное подкоренное выражение с квадратами натуральных чисел, при этом помним, что чем больше подкоренное выражение, чем больше корень.
№81 учебника 2014-2022 (стр. 30):
\(ax^2 + bx+c=0\)
\(a = b = c =k \neq0\)
\(kx^2 + kx+k=0\) \(/ : k\)
\(x^{2}+x+1= 0\)
\( D=b^2-4ac=1^{2}-4\cdot1\cdot1=\)
\(=1-4=-3<0\) - корней нет.
Ответ: квадратный трёхчлен нельзя разложить на множители.
Пояснения:
Правило:
квадратный трёхчлен \(ax^{2}+bx+c\) представим в виде произведения двух многочленов первой степени тогда и только тогда, когда его дискриминант \(D=b^{2}-4ac\ge0\). При \(D>0\) имеем два различных линейных множителя, при \(D=0\) — квадрат одного линейного множителя, при \(D<0\) разложения на линейные множители нет.
Обоснование шагов:
1) Равенство коэффициентов квадратного трехчлена
\(a = b = c =k \neq0\) позволяет обе части уравнения \(kx^2 + kx+k=0\) разделить на \(k\), корни от этого не изменятся.
2) Дискриминант полученного квадратного трехчлена \(x^{2}+x+1\) отрицателен (\(D=-3\)), значит, квадратный трехчлен не имеет корней, значит, разложить на множители квадратный трёхчлен, коэффициенты которого равные, отличные от нуля числа, нельзя.
Вернуться к содержанию учебника