Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№85 учебника 2023-2026 (стр. 29):
Число \(a\) отмечено точкой на координатной прямой (рис. 6, б). Расположите в порядке убывания числа \(a-2\), \(\dfrac{1}{a}\), \(a^2\).
№85 учебника 2014-2022 (стр. 30):
Найдите значение дроби:
а) \(\displaystyle \frac{36-x^{2}}{6-7x+x^{2}}\)
при \(x=-9;\;-99;\;-999\);
б) \(\displaystyle \frac{4x^{2}+8x-32}{4x^{2}-16}\)
при \(x=-1;\;5;\;10\).
№85 учебника 2023-2026 (стр. 29):
№85 учебника 2014-2022 (стр. 30):
Вспомните:
№85 учебника 2023-2026 (стр. 29):
Ответ: \(\dfrac{1}{a},\; a^2,\; a - 2.\)
Пояснения:
По рисунку видно, что \(0 < a < 1\). Нам известно, что при возведении в квадрат положительного числа меньше единицы, мы получаем число, которое меньше данного, значит, \(0<a^2 < a.\) Также нам известно, что число обратное положительному числу меньше единицы, больше единицы, значит, \( \frac{1}{a} > 1. \) Так как \(a < 1\), то \( a - 2 < -1\).
\(a^2\) — число положительное и меньше 1.
Итоговое сравнение трёх выражений:
\( \frac{1}{a} > a^2 > a - 2. \)
№85 учебника 2014-2022 (стр. 30):
а) \( \frac{36-x^{2}}{6-7x+x^{2}}=\frac{-(x^{2}-36)}{(x-6)(x-1)}=\)
\(=\frac{-\cancel{(x-6)}(x+6)}{\cancel{(x-6)}(x-1)}=-\frac{x+6}{x-1}\).
\(6-7x+x^{2} = 0\)
\(x^2 - 7x + 6 = 0\)
\(a = 1\), \(b = -7\), \(c = 6\)
\(D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4\cdot1\cdot6 =\)
\( = 49 - 24 = 25\), \(\sqrt D = 5\).
\(x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt D}{2a}\)
\(x_{1}=\dfrac{-(-7)+5}{2\cdot1}=\frac{12}{2}=6\),
\(x_{2}=\dfrac{-(-7)-5}{2\cdot1}=\frac{2}{2}=1\),
\(6-7x+x^{2} = (x-6)(x-1)\).
Если \(x=-9\), то
\(-\dfrac{-9+6}{-9-1}=-\dfrac{-3}{-10}=-\dfrac{3}{10} = -0,3\).
Если \(x=-99\), то
\(-\dfrac{-99+6}{-99-1}=-\dfrac{-93}{-100}=-\dfrac{93}{100} =\)
\(=-0,93\).
Если \(x=-999\), то
\(-\dfrac{-999+6}{-999-1}=-\dfrac{-993}{-1000}=\)
\(=-\dfrac{993}{1000} = -0,993\).
б) \(\frac{4x^{2}+8x-32}{4x^{2}-16}=\)
\(=\frac{4(x-2)(x+4)}{4(x^2-4)}=\)
\(=\frac{\cancel{4}\cancel{(x-2)}(x+4)}{\cancel{4}\cancel{(x-2)}(x+2)}=\frac{x+4}{x+2}\).
\(4x^{2}+8x-32 = 0\) \(/ : 4\)
\(x^{2}+2x-8 = 0\)
\(a = 1\), \(b = 2\), \(c = -8\)
\(D = b^2 - 4ac =2^2 - 4\cdot1\cdot(-8) =\)
\( = 4 + 32 = 36\), \(\sqrt D = 6\).
\(x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt D}{2a}\)
\(x_{1}=\dfrac{-2+6}{2\cdot1}=\frac{4}{2}=2\),
\(x_{2}=\dfrac{-2-6}{2\cdot1}=\frac{-8}{2}=-4\).
\(4x^{2}+8x-32 = 4(x - 2)(x + 4)\).
Если \(x=-1\), то
\(\dfrac{-1+4}{-1+2}=\dfrac{3}{1}=3\).
Если \(x=5\), то
\(\dfrac{5+4}{5+2}=\dfrac{9}{7}=1\dfrac{2}{7}\).
Если \(x=10\), то
\(\dfrac{10+4}{10+2}=\dfrac{14}{12}=\dfrac{7}{6} =1\dfrac{1}{6} \).
Пояснения:
Чтобы найти значение дроби, сначала дробь сокращаем, а затем вместо переменных подставляем числовые значения и выполняем вычисления.
Чтобы сократить дробь, раскладываем ее числитель и знаменатель на множители,если это возможно, и сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя.
Использованные приемы:
1) Если квадратный трехчлен
\(ax^2 + bx+c\) имеет корни, то его можно разложить на множители
\(ax^2 + bx+c=a(x - x_1)(x-x_2)\),
где \(x_1\) и \(x_2\) - корни квадратного трёхчлена.
2) Разность квадратов двух выражений:
\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\).
3) Вынесение общего множителя за скобки:
\(ka + kb = k(a + b)\).
4) Противоположные выражения:
\(a - b = -(b-a)\).
Вернуться к содержанию учебника