Упражнение 87 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \( \dfrac{2a + 5b}{5a + 2b} = 1 \)

\(2a + 5b = 5a + 2b\)

\(2a - 5a + 5b - 2b = 0\)

\(-3a + 3b = 0\)

\(a = b\)

\(\dfrac{a}{b} = 1.\)

Ответ: \(\dfrac{a}{b} = 1.\)

б) \( \dfrac{a + 2b}{b + 2a} = -3 \)

\(a + 2b = -3(b + 2a)\)

\(a + 2b = -3b - 6a\)

\(a + 6a + 2b + 3b = 0\)

\(7a + 5b = 0\)

\(7a =- 5b \)        \(\color{red}|:7b\)

\(\dfrac{a}{b} = -\dfrac{5}{7}.\)

Ответ: \(\dfrac{a}{b} = -\dfrac{5}{7}.\)

в) \( \dfrac{99a + 8b}{4b - 100a} = 2 \)

\(99a + 8b = 2(4b - 100a)\)

\(99a + 8b = 8b - 200a\)

\(99a + 200a + 8b - 8b = 0\)

\(299a = 0\)

\(a = 0\)

\(\dfrac{a}{b} = 0.\)

Ответ: \(\dfrac{a}{b} = 0.\)

Пояснения:

1. Пропорции и равенство дробей.

Если дана дробь вида \( \frac{P(a,b)}{Q(a,b)} = k \), то можно умножить обе части на знаменатель и получить:

\[ P(a,b) = k \cdot Q(a,b). \]

Это приводит к линейному уравнению относительно \(a\) и \(b\).

2. Цель — найти отношение \( \frac{a}{b} \).

Из каждого уравнения получается связь вида:

\[ p a + q b = 0, \]

что легко преобразуется к виду:

\[ \frac{a}{b} = -\frac{q}{p}. \]

3. Подробность по каждому пункту.

а) Получили уравнение \(3a = 3b\), откуда следует \(a = b\). Отношение равно 1.

б) Линейное уравнение \(7a + 5b = 0\) даёт отношение \(\dfrac{a}{b} = -\dfrac{5}{7}\).

в) Получилось \(299a = 0\), то есть \(a = 0\). Тогда \(\dfrac{a}{b} = 0\).

а) \(\frac{x^{2}-1}{2}-11x=11\)     \(/\times2\)

\( x^{2}-1-22x=22\)

\( x^{2}-1-22x-22=0\)

\(x^{2}-22x-23=0\)

\(a = 1\),  \(b = -22\),  \(c = -23\)

\(D=b^2 - 4ac=\)

\(=22^{2}-4\cdot1\cdot(-23)=\)

\(=484+92=576\),    \(\sqrt D=24\)

\(x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt D}{2a}\)

\(x_1=\frac{-(-22)+24}{2\cdot1}=\frac{46}{2}=23\),

\(x_{2}=\frac{-(-22)-24}{2\cdot1}=\frac{-2}{2}=-1.\)

Ответ: \(23;  -1\).

б) \(\frac{x^{2}+x}{2}=\frac{8x-7}{3}\)     \(/\times6\)

\( 3(x^{2}+x)=2(8x-7)\)

\( 3x^{2}+3x=16x-14\)

\( 3x^{2}+3x-16x+14=0\)

\(3x^{2}-13x+14=0\)

\(a = 3\),  \(b = -13\),  \(c = 14\)

\(D=b^2 - 4ac=13^{2}-4\cdot3\cdot14=\)

\(=169-168=1\),   \( \sqrt D=1\)

\(x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt D}{2a}\)

\(x_1=\frac{-(-13)+1}{2\cdot3}=\frac{14}{6}=\frac{7}{3}=2\frac{1}{3}\),

\( x_{2}=\frac{-(-13)-1}{2\cdot3}=\frac{12}{6}=2.\)

Ответ: \(2\frac{1}{3};   2\).

в) \(x-3=\frac{1-x^{2}}{3}\)    \(/\times3\)

\(3x-9=1-x^{2}\)

\(3x-9-1+x^{2}=0\)

\(x^2 +3x -10 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = 3\),  \(c = -10\)

\(D=b^2 - 4ac=3^2 - 4\cdot1\cdot(-10)=\)

\(=9+40 = 49\),    \(\sqrt D = 7\).

\(x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt D}{2a}\)

\(x_1=\frac{-3+7}{2\cdot1}=\frac{4}{2}=2\),

\(x_2=\frac{-3-7}{2\cdot1}=\frac{-10}{2}=-5\),

Ответ: \(2;   -5\).

г) \(\frac{2-x^{2}}{7}=\frac{x}{2}\)    \(/\times14\)

\( 2(2-x^{2})=7x\)

\(4-2x^{2}=7x\)

\(4-2x^{2}-7x = 0\)   \(/\times(-1)\)

\(2x^{2}+7x-4=0\)

\(a = 2\),  \(b = 7\),  \(c = -4\)

\(D=b^2 - 4ac=7^{2}-4\cdot2\cdot(-4)=\)

\(=49+32=81,\)    \(\sqrt D=9\)

\(x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt D}{2a}\)

\(x_1=\frac{-7+9}{2\cdot2}=\frac24=\frac12 =0,5\),

\(x_{2}=\frac{-7-9}{2\cdot2}=\frac{-16}{4}=-4.\)

Ответ: \(0,5;   -4\).

Пояснения:

Использованные приёмы и формулы:

1. В каждом уравнении сначала избавились от знаменателей, для этого обе части уравнения умножили на общий знаменатель дробей, входящих в рассматриваемое уравнение.

2) Раскрытие скобок:

\(a(b+c) = ab + ac\).

3. Все слагаемые из правой части уравнения перенесли в левую, изменив их знаки на противоположные, и привели подобные слагаемые в левой части уравнения, получили полное квадратное уравнение вида

\(ax^2+bx+c=0\). Если коэффициент \(a\) после преобразований получился отрицательным, домножили обе части уравнения на \(-1\), чтобы упростить вычисления.

4. Количество корней полного квадратного уравнения зависит от дискриминанта. Формула дискриминанта:

\(D=b^2-4ac\).

– если \(D>0\), то уравнение имеет два корня:

\(x_1 =\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\);

\(x_2 =\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\).

– если \(D=0\), то уравнение имеет один корень:

\(x =-\frac{b}{2a}\).

– если \(D<0\), то уравнение не имеет корней.