Упражнение 634 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\dfrac{3x+1}{x+2}-\dfrac{x-1}{x-2}=1\) \(/\times(x+2)(x-2)\)

ОДЗ: \(x + 2 \neq0\)  и  \(x - 2\neq0\)

         \(x\neq-2\)           \(x\neq2\)

\((3x+1)(x-2)-(x-1)(x+2)=(x+2)(x-2)\)

\(3x^2 - 6x + x -2 -(x^2+2x-x-2) = x^2 - 4\)

\(3x^2 - 6x + x -2 -x^2-2x+x+2 - x^2 + 4=0\)

\(x^2-6x+4=0\)

\(a = 1\),  \(b = -6\),  \(c = 4\)

\(D = b^2 - 4ac =(-6)^2 -4\cdot1\cdot4=\)

\(=36 - 16 = 20\),  

\(\sqrt D = \sqrt{20}=\sqrt{4\cdot5} = 2\sqrt5\).

\( x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}= \frac{-(-6)\pm2\sqrt{5}}{2\cdot1}=\)

\(=\frac{6\pm2\sqrt{5}}{2}=\frac{\cancel2(3\pm\sqrt{5})}{\cancel2}=\)

\(=3\pm\sqrt{5}\).

Ответ: \(3\pm\sqrt{5}\).

б) \(\dfrac{2y-2}{y+3}+\dfrac{y+3}{y-3}=5\) \(/\times(y+3)(y-3)\)

ОДЗ: \(y+3\neq0\)  и  \(y-3\neq0\)

         \(y\neq-3\)          \(y\neq3\)

\((2y - 2)(y-3) +(y+3)^2=5(y+3)(y-3)\)

\(2y^2 - \cancel{6y} - 2y +6 + y^2+\cancel{6y} + 9=5(y^2 - 9)\)

\(3y^2 -2y+15 = 5y^2 - 45\)

\(3y^2 -2y+15 - 5y^2 + 45=0\)

\(-2y^2-2y+60 = 0\)    \(/ : (-2)\)

\(y^2 +y - 30 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = 1\),  \(c = -30\)

\(D = b^2 - 4ac =1^2 -4\cdot1\cdot(-30)=\)

\(=1 + 120 = 121\),    \(\sqrt D = 11\).

\( x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\).

\( x_1 = \frac{-1+11}{2\cdot1}=\frac{10}{2}=5\).

\( x_2 = \frac{-1-11}{2\cdot1}=\frac{-12}{2}=-6\).

Ответ: \(5;   -6\).

в) \(\dfrac{4}{9y^{2}-1}-\dfrac{4}{3y+1}=\dfrac{5}{1-3y}\) 

\(\dfrac{4}{(3y-1)(3y+1)}-\dfrac{4}{3y+1}=-\dfrac{5}{3y-1}\)  \(/\times(3y-1)(3y+1)\)

ОДЗ: \(3y-1\neq0\)  и  \(3y+1\neq0\)

         \(3y\neq1\)             \(3y\neq-1\)

         \(y\neq\dfrac13\)              \(y\neq-\dfrac13\)

\(4-4(3y-1)=-5(3y+1)\)

\(4-12y + 4 = -15y-5\)

\(-12y + 15y=-5-4-4\)

\(3y=-13\)

\(y = -\frac{13}{3}\)

\(y=-4\frac13\)

Ответ: \(y=-4\frac13\).

г) \(\dfrac{4}{x+3}-\dfrac{5}{3-x}=\dfrac{1}{x-3}-1\)

\(\dfrac{4}{x+3}+\dfrac{5}{x-3}=\dfrac{1}{x-3}-1\) \(/\times(x+3)(x-3)\)

ОДЗ: \(x+3\neq0\)  и  \(x-3\neq0\)

         \(x\neq-3\)          \(x\neq-3\)

\(4(x-3)+5(x+3)=(x+3)-(x+3)(x-3)\)

\(4x-12+5x+15=x+3-(x^2 - 9)\)

\(9x+3=x+3-x^2+9\)

\(9x+3-x-3+x^2-9=0\)

\(x^2+8x-9=0\)

\(a = 1\),  \(b = 8\),  \(c = -9\)

\(D = b^2 - 4ac =8^2 -4\cdot1\cdot(-9)=\)

\(=64 + 36 = 100\),    \(\sqrt D = 10\).

\( x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\).

\( x_1 = \frac{-8+10}{2\cdot1}=\frac{2}{2}=1\).

\( x_2 = \frac{-8-10}{2\cdot1}=\frac{-18}{2}=-9\).

Ответ: \(1;   -9\).

д) \(\dfrac{3}{x}+\dfrac{4}{x-1}=\dfrac{5-x}{x^{2}-x}\)

\(\dfrac{3}{x}+\dfrac{4}{x-1}=\dfrac{5-x}{x(x-1)}\) \(/\times x(x-1)\)

ОДЗ: \(x\neq0\)  и  \(x-1\neq0\)

                         \(x\neq1\)

\(3(x-1)+4x=5-x\)

\(3x-3 + 4x=5-x\)

\(3x+4x +x = 5 + 3\)

\(8x = 8\)

\(x = 1\) - не подходит по ОДЗ.

Ответ: корней нет.

е) \(\dfrac{3y-2}{y}-\dfrac{1}{y-2}=\dfrac{3y+4}{y^{2}-2y}\)

\(\dfrac{3y-2}{y}-\dfrac{1}{y-2}=\dfrac{3y+4}{y(y-2)}\) \(/\times y(y-2)\)

ОДЗ: \(y \neq0\)  и  \(y - 2 \neq0\)

                          \(y \neq2\)

\((3y - 2)(y-2) - y=3y + 4\)

\(3y^2-6y-2y+4 - y - 3y - 4=0\)

\(3y^2-12y = 0\)

\(y(3y - 12) = 0\)

\(y = 0\) - не подходит по ОДЗ.

или \(3y - 12 = 0\)

\(3y = 12\)

\(y = \frac{12}{3}\)

\(y = 4\)

Ответ: \(4\).

---

Пояснения:

Алгоритм решения уравнений:

1) найти ОДЗ (область допустимых значений), то есть те значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль;

2) найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение (предварительно,если возможно, разложить все знаменатели на множители);

3) умножить обе части уравнения на общий знаменатель;

4) решить получившееся целое уравнение;

5) исключить из его корней те, которые совпадают с ОДЗ.

Решение целых уравнений:

1) Полное квадратное уравнение \(ax^2 + bx + c=0\), которое решается через дискриминант \(D = b^2-4ac\).

– если \(D>0\), то уравнение имеет два корня:

\(x_1 =\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\);

\(x_2 =\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\).

– если \(D=0\), то уравнение имеет один корень:

\(x =-\frac{b}{2a}\).

– если \(D<0\), то уравнение не имеет корней.

2) Неполное квадратное уравнение вида \(ax^2 + bx = 0\), которое решается разложением на множители, учитывая то, что произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

3) Линейное уравнение вида \(ax = b\), которое при \(a\neq0\) имеет единственный корень \(x = \frac{b}{a}\).

Раскрытие скобок:

\(a(b + c) = ab + ac\);

\((a + b)(c -d) = ac - ad + bc -bd\).

Разность квадратов:

\(a^2 - b^2 = (a-b)(a + b)\)

Квадрат суммы:

\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\).

Противоположные выражения:

\(a - b = -(b - a)\).

Вынесение общего множителя за скобки:

\(ka + kb = k(a + b)\).

Свойство дроби:

\(\frac{a}{-b} = -\frac{a}{b}\).

Свойство степени:

\((ab)^n = a^nb^n\).

	Расстояние, км	Скорость, км/ч	Время, ч
До станции	\(S\)	\(x\)	\(\frac{S}{x}\)
Обратно	\(S\)	\(x+5\)	\(\frac{S}{x+5}\)

Средняя скорость на всем пути \(12\) км/ч.

Составим уравнение:

\( \frac{S+S}{\frac{S}{x} ^{\color{blue}{\backslash x+5}} +\frac{S}{x+5} ^{\color{blue}{\backslash x}} }=12 \)

ОДЗ: \(x \neq0\)  и  \( x+5 \neq0\)

                          \(x \neq -5\)

\( \frac{2S}{\frac{S(x+5)+Sx}{x(x+5)} }=12 \)

\( \frac{2S}{\frac{S(x+5+x)}{x(x+5)} }=12 \)

\( \frac{2S}{\frac{S(2x+5)}{x(x+5)} }=12 \)

\(2S : \frac{S(2x+5)}{x(x+5)} = 12\)

\(2\cancel S \cdot \frac{x(x+5)}{\cancel S(2x+5)} = 12\)

\(\frac{2x(x+5)}{2x+5} = 12\)    \(/\times (2x+5)\)

\(2x(x+5) = 12(2x + 5)\)

\(2x^2+10x=24x+60 \)

\(2x^2+10x-24x-60 =0\)

\(2x^2-14x-60=0 \)    \( / : 2\)

\(x^2-7x-30=0 \)

\(a = 1\),  \(b = -7\),  \(c = -30\)

\(D = b^2 - 4ac =\)

\(=(-7)^2 - 4\cdot1\cdot(-30)=\)

\(=49 +120 = 169\),   \(\sqrt D = 13\).

\( x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\).

\( x_1 = \frac{-(-7)+13}{2\cdot1}=\frac{20}{2}=10\).

\( x_2 = \frac{-(-7)-13}{2\cdot1}=\frac{-6}{2}=-3\) - не удовлетворяет условию.

Ответ: первоначальная скорость велосипедиста \(10\) км/ч.

---

Пояснения:

Чтобы найти среднюю скорость движения, нужно весь пройденный путь разделить на все время движения.

Средняя скорость при равных путях \(s\) туда и обратно:

\( v_{\text{ср}}=\frac{2s}{\frac{s}{x}+\frac{s}{x+5}}=\frac{2x(x+5)}{2x+5}. \)

Учитывая то, что \(v_{\text{ср}}=12\) получим дробное рациональное уравнение:

\(\frac{2x(x+5)}{2x+5} = 12\) .

Алгоритм решения дробного рационального уравнений:

1) найти ОДЗ (область допустимых значений), то есть те значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль;

2) найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;

3) умножить обе части уравнения на общий знаменатель;

4) решить получившееся целое уравнение;

5) исключить из его корней те, которые совпадают с ОДЗ.

После того как обе части уравнения домножили на общий знаменатель и выполнили преобразования, получили полное квадратное уравнение

\(x^2-7x-30=0\), у которого дискриминант больше нуля, следовательно, имеем два корня уравнения:

\(x_1 = 10\) и \(x_2 = -3\).

Отрицательный корень не подходит, так как скорость не может быть отрицательным числом.

Значит, первоначальная скорость велосипедиста \(10\) км/ч.