Упражнение 638 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\dfrac{5}{y-2}-\dfrac{4}{y-3}=\dfrac{1}{y}\)  \(/\times y(y-2)(y-3)\)

ОДЗ:

\(y\neq0\) и \(y-2\neq0\) и \(y-3\neq0\)

               \(y\neq2\)          \(y\neq3\)

\( 5y(y-3)-4y(y-2)=(y-2)(y-3) \)

\(y^{2}-7y=y^{2}-5y+6 \)

\(-2y=6\)

\(y=\frac{6}{-2}\)

\(y=-3. \)

Ответ: \(-3\).

б) \(\dfrac{1}{2(x+1)}+\dfrac{1}{x+2}=\dfrac{3}{x+3}\) \(/\times 2(x+1)(x+2)(x+3)\)

ОДЗ:

\(x+1\neq0\) и \(x+2\neq0\) и \(x+3\neq0\)

\(x\neq-1\)        \(x\neq-2\)        \(x\neq-3\).

\((x+2)(x+3) + 2(x+1)(x+3)=6(x+1)(x+2)\)

\(x^2+3x+2x+6+2(x^2+3x+x+3) = 6(x^2 + 2x+x+2)\)

\(x^2+5x+6+2(x^2+4x+3) = 6(x^2 + 3x+2)\)

\(x^2+5x+6+2x^2+8x+6 = 6x^2 + 18x+12)\)

\(x^2+5x+6+2x^2+8x+6 - 6x^2 - 18x-12=0)\)

\(-3x^2-5x=0\)

\(x(-3x-5) = 0\)

\(x = 0\)  или  \(-3x - 5 = 0\)

                     \(-3x = 5\)

                     \(x = -\frac{5}{3}\)

                     \(x = -1\frac{2}{3}\)

Ответ: \(0;   -1\frac{2}{3}\).

в) \(\dfrac{1}{x+2}+\dfrac{1}{x^{2}-2x}=\dfrac{8}{x^{3}-4x}\)

\(\dfrac{1}{x+2}+\dfrac{1}{x(x-2)}=\dfrac{8}{x(x^{2}-4)}\)

\(\dfrac{1}{x+2}+\dfrac{1}{x(x-2)}=\dfrac{8}{x(x-2)(x+2)}\) \(/\times x(x-2)(x+2)\)

ОДЗ:

\(x\neq0\) и \(x - 2 \neq 0\) и \(x + 2 \neq0\)

              \(x \neq 2\)            \(x \neq-2\)

\( x(x-2)+(x+2)=8 \)

\(x^2 - 2x + x + 2 -8 = 0\)

\(x^{2}-x-6=0\)

\(a = 1\),  \(b = -1\),  \(c = -6\)

\(D = b^2 - 4ac=\)

\(=(-1)^2 -4\cdot1\cdot(-6) =\)

\(=1 +24 = 25\),    \(\sqrt D = 5\).

\( x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\).

\(x_1=\dfrac{-(-1)+5}{2\cdot1}=\dfrac{6}{2}=3\).

\(x_2=\dfrac{-(-1)-5}{2\cdot1}=\dfrac{-4}{2}=-2\) - не подходит по ОДЗ.

Ответ: \(3\).

г) \(\dfrac{10}{y^{3}-y}+\dfrac{1}{y-y^{2}}=\dfrac{1}{1+y}\)

\(\dfrac{10}{y(y^{2}-1)}-\dfrac{1}{y(y-1)}=\dfrac{1}{y+1}\)

\(\dfrac{10}{y(y-1)(y+1)}-\dfrac{1}{y(y-1)}=\dfrac{1}{y+1}\) \(/\times y(y-1)(y+1)\)

ОДЗ:

\(y\neq0\) и \(y-1\neq0\) и \(y + 1\neq0\)

              \(y\neq1\)           \(y \neq-1\)

\(10-(y+1)=y(y-1)\)

\(10-y-1=y^2-y\)

\(10-y-1-y^2+y=0\)

\(-y^2 + 9 = 0\)

\(-y^{2}=-9\)

\(y^{2}=9\)

\(y_{1,2}=\pm\sqrt9\)

\(y_{1,2}=\pm3. \)

Ответ: \(-3;   3\).

д) \(1+\dfrac{45}{x^{2}-8x+16}=\dfrac{14}{x-4}\)

\(1+\dfrac{45}{(x-4)^2}=\dfrac{14}{x-4}\)  \(/\times (x-4)^2\)

ОДЗ: \(x-4\neq0\)

         \(x\neq4\).

\((x-4)^2 +45 = 14(x-4)\)

\(x^2 - 8x + 16 + 45 - 14x + 56 = 0\)

\(x^2 -22x +117=0\)

\(a = 1\),  \(b = -22\),  \(c = 117\)

\(D = b^2 - 4ac=\)

\(=(-22)^{2}-4\cdot1\cdot117=\)

\(=484-468 = 16\),    \(\sqrt D = 4\).

\( x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\).

\(x_1=\dfrac{-(-22)+4}{2\cdot1}=\dfrac{26}{2}=13\).

\(x_2=\dfrac{-(-22)-4}{2\cdot1}=\dfrac{18}{2}=9\).

Ответ: \(13;   9\).

е) \(\dfrac{5}{x-1}-\dfrac{4}{3-6x+3x^{2}}=3\)

\(\dfrac{5}{x-1}-\dfrac{4}{3(x^2-2x+1)}=3\)

\(\dfrac{5}{x-1}-\dfrac{4}{3(x-1)^2}=3\) \(/\times 3(x-1)^2\)

ОДЗ: \(x-1\neq0\)

         \(x\neq1\)

\(15(x-1) = 9(x-1)^2\)

\(15x-15=9(x^2-2x + 1)\)

\(15x-15 -4= 9x^2 -18x +9\)

\(15x - 19 -9x^2 +18x -9 = 0\)

\(-9x^2+33x-28=0\)    \( /\times(-1)\)

\(9x^2-33x+28=0\)

\(a = 9\),  \(b = -33\),  \(c = 28\)

\(D = b^2 - 4ac=\)

\(=(-33)^{2}-4\cdot9\cdot28=\)

\(=1089 -1008=81\),    \(\sqrt D = 9\).

\( x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\).

\(x_1=\dfrac{-(-33)+9}{2\cdot9}=\dfrac{42}{18}=\dfrac{7}{3}=3\dfrac{1}{3}\).

\(x_2=\dfrac{-(-33)-9}{2\cdot9}=\dfrac{24}{18}=\dfrac{4}{3}=1\dfrac{1}{3}\).

Ответ: \(3\dfrac{1}{3};   1\dfrac{1}{3}\).

---

Пояснения:

Алгоритм решения уравнений:

1) найти ОДЗ (область допустимых значений), то есть те значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль;

2) найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение (предварительно,если возможно, разложить все знаменатели на множители);

3) умножить обе части уравнения на общий знаменатель;

4) решить получившееся целое уравнение;

5) исключить из его корней те, которые совпадают с ОДЗ.

Решение целых уравнений:

1) Полное квадратное уравнение \(ax^2 + bx + c=0\), которое решается через дискриминант \(D = b^2-4ac\).

– если \(D>0\), то уравнение имеет два корня:

\(x_1 =\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\);

\(x_2 =\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\).

– если \(D=0\), то уравнение имеет один корень:

\(x =-\frac{b}{2a}\).

– если \(D<0\), то уравнение не имеет корней.

2) Неполное квадратное уравнение вида \(ax^2 + bx = 0\), которое решается разложением на множители, учитывая то, что произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

3) Неполное квадратное уравнение вида \(ax^2 = b\), откуда при \(a\neq0\) имеем \(x^2 = \frac{b}{a}\), тогда \(x_{1,2} = \pm\sqrt{\frac{b}{a}}\).

4) Линейное уравнение вида \(ax = b\), которое при \(a\neq0\) имеет единственный корень \(x = \frac{b}{a}\).

Раскрытие скобок:

\(a(b + c) = ab + ac\);

\((a + b)(c -d) = ac - ad + bc -bd\).

Разность квадратов:

\(a^2 - b^2 = (a-b)(a + b)\)

Квадрат разности:

\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).

Противоположные выражения:

\(a - b = -(b - a)\).

Вынесение общего множителя за скобки:

\(ka + kb = k(a + b)\).

Свойство дроби:

\(\frac{a}{-b} = -\frac{a}{b}\).

\(x^{2}-10x+q=0\)

\(a = 1\),  \(b = -10\),  \(c = q\)

\(x_1-x_2 = 6\)

По теореме, обратной теореме Виета:

\(\;x_1+x_2=10\)   и   \(x_1x_2=q\).

Составим систему уравнений:

\( \begin{cases} x_1+x_2=10,\\ x_1-x_2=6 \end{cases} \)    \((+)\)

\( \begin{cases} 2x_1=16,\\ x_1-x_2=6 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x_1=\frac{16}{2},\\ x_2=x_1 - 6 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x_1=8,\\ x_2=8 - 6 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x_1=8,\\ x_2=2 \end{cases} \)

\(q = 8\cdot2 = 16\)

Ответ: \(q=16\).

---

Пояснения:

Приведённое квадратное уравнение \(x^2+bx+c=0\) в том случае, когда дискриминант больше нуля

\((D=b^2-4ac>0)\) имеет два корня \(x_1\) и \(x_2\), для которых справедливы равенства:

\(x_1 + x_2=-b\),

\(x_1\cdot x_2=c\).

По условию разность корней квадратного уравнения 6, то есть

\(x_1 - x_2 = 6\).

Составляем систему из уравнений суммы и разности корней:

\( \begin{cases} x_1+x_2=10,\\ x_1-x_2=6 \end{cases} \) 

Решаем систему способом сложения и находим значения корней:

\(x_1 = 8,   x_2 = 2\).

Через произведение корней находим коэффициент \(q = 16\).