Упражнение 630 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\(f(x)=0{,}8x+2{,}1\),

\(g(x)=-0{,}9x+3\).

\(\;0{,}8x+2{,}1=-0{,}9x+3\)

\(0{,}8x+0{,}9x=3-2{,}1\)

\(1{,}7x=0{,}9\)

\(x=\dfrac{0{,}9}{1{,}7}\)

\(x=\dfrac{9}{17} >0\)

\(y=f(x)=0{,}8\cdot\dfrac{9}{17}+2{,}1=\)

\(=\dfrac{8}{10}\cdot\dfrac{9}{17}+\dfrac{21}{10}=\dfrac{72}{170}+\dfrac{21}{10} ^{\color{blue}{\backslash17}} =\)

\(=\dfrac{72+357}{170}=\dfrac{429}{170}>0.\)

\(x>0\) и \(y>0\) - точка пересечения графиков расположена в I четверти.

Ответ: в I четверти.

Пояснения:

Правила:

— Точка пересечения графиков

\(y=f(x)\) и \(y=g(x)\) находится из уравнения \(f(x)=g(x)\).

— Знаки координат по четвертям:

I четверть — \((x>0,\;y>0)\),

II четверть — \((x<0,\;y>0)\),

III четверть — \((x<0,\;y<0)\),

IV четверть — \((x>0,\;y<0)\).

Пояснение шагов:

1) Приравняли правые части функций:

\(\;0{,}8x+2{,}1=-0{,}9x+3\) и нашли

\(x=\dfrac{9}{17}>0\).

2) Подставили \(x\) в любую функцию (взяли \(f\)) и получили \(y=\dfrac{429}{170}>0\).

3) Поскольку обе координаты положительны, точка пересечения лежит в первой координатной четверти.

Составим уравнение:

\(\frac{30}{x}\cdot100 = \frac{30}{x+100}\cdot100+1\)  \(/\times x(x + 100)\)

ОДЗ: \(x \neq0\)  и  \( x + 100 \neq0\)

                          \(x \neq -100\)

\(3000(x+100) = 3000x + x(x + 100)\)

\(3000x + 300 000 = 3000 x + x^2 +100x\)

\( x^2 +\cancel{3000x} - \cancel{3000x}  + 100x - 300 000 = 0\)

\( x^2 + 100x - 300 000 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = 100\),  \(c =-300000\)

\(D = b^2 - 4ac =\)

\(=100^2 - 4\cdot1\cdot(-300000)=\)

\(=10 000 + 1 200 000= 1 210 000\),

\(\sqrt D = 1100\).

\( x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\).

\( x_1 = \frac{-100+1100}{2\cdot1}=\frac{1000}{2}=500\).

\( x_2 = \frac{-100-1100}{2\cdot1}=\frac{-1200}{2}=-600\) - не удовлетворяет условию.

Ответ: первоначальная масса раствора равна \(500\) г.

Пояснения:

Концентрация в соли в растворе равна \(\frac{m_{\text{соли}}}{m_{\text{раствора}}}\cdot100\%.\) При добавлении воды масса соли не меняется, меняется только масса раствора.

После добавления воды в раствор, концентрация соли в растворе понизилась на 1%. Значит, можем составить следующее дробное рациональное уравнение:

\(\frac{30}{x}\cdot100 = \frac{30}{x+100}\cdot100+1\).

Алгоритм решения дробного рационального уравнений:

1) найти ОДЗ (область допустимых значений), то есть те значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль;

2) найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;

3) умножить обе части уравнения на общий знаменатель;

4) решить получившееся целое уравнение;

5) исключить из его корней те, которые совпадают с ОДЗ.

После того как обе части уравнения домножили на общий знаменатель и выполнили преобразования, получили полное квадратное уравнение

\( x^2 + 100x - 300 000 = 0\), у которого дискриминант больше нуля, следовательно, имеем два корня уравнения:

\(x_1 = 500\) и \(x_2 = -600\).

Отрицательный корень не подходит, так как масса не может быть отрицательным числом.

Значит, первоначальная масса раствора равна \(500\) г.