Упражнение 636 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\dfrac{x-4}{x-5}+\dfrac{x-6}{x+5}=2\)   \(/\times(x-5)(x+5)\)

ОДЗ: \(x-5\neq0\)  и  \(x + 5\neq0\)

         \(x\neq5\)             \(x\neq-5\)

\((x - 4)(x +5) + (x-6)(x-5)=2(x-5)(x+5)\)

\(x^2 + \cancel{5x} - 4x -20 + x^2 -\cancel{5x}-6x+30=2(x^2 - 25)\)

\(2x^2 -10x+10 = 2x^2 - 50\)

\(\cancel{2x^2} -10x+10 - \cancel{2x^2} + 50=0\)

\(-10x + 60 = 0\)

\(-10x = -60\)

\(x = \frac{-60}{-10}\)

\(x = 6\)

Ответ: \( 6\).

б) \(\dfrac{1}{2-x}-1=\dfrac{1}{x-2}-\dfrac{6-x}{3x^{2}-12}\)

\(\dfrac{1}{-(x-2)}-1=\dfrac{1}{x-2}-\dfrac{6-x}{3(x^{2}-4)}\)

\(\dfrac{-1}{x-2}-1=\dfrac{1}{x-2}-\dfrac{6-x}{3(x-2)(x+2)}\) \(/\times3(x-2)(x+2)\)

ОДЗ: \(x - 2 \neq0\)  и  \(x + 2 \neq0\)

          \(x\neq2\)             \(x\neq-2\)

\(-3(x + 2)-3(x-2)(x+2) = 3(x+2)-(6-x)\)

\(-3x-6-3(x^2 - 4) = 3x + 6-6 + x\)

\(-3x - 6 -3x^2 + 12 =4x\)

\(-3x - 6 -3x^2 + 12 -4x=0\)

\(-3x^2 -7x +6=0\)   \(/\times(-1)\)

\(3x^2 + 7x - 6=0\)

\(a = 3\),  \(b = 7\),  \(c = -6\)

\(D = b^2 - 4ac=7^{2}-4\cdot3\cdot(-6)=\)

\(=49 + 72=121\),    \(\sqrt D = 11\).

\( x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\).

\(x_1=\dfrac{-7+11}{2\cdot3}=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}\).

\(x_2=\dfrac{-7-11}{2\cdot3}=\dfrac{-18}{6}=-3\).

Ответ: \(\dfrac{2}{3};   -3\).

в) \(\dfrac{7y-3}{\,y-y^{2}\,}=\dfrac{1}{y-1}-\dfrac{5}{y(y-1)}\)

\(\dfrac{7y-3}{\,-y(y-1)}=\dfrac{1}{y-1}-\dfrac{5}{y(y-1)}\)  \(/\times y(y-1)\)

ОДЗ: \(y \neq0\)  и  \(y - 1\neq0\)

                         \(y\neq1\).

\(-(7y - 3) = y-5\)

\(-7y + 3 -y + 5 =0\)

\(-8y +8 =0\)

\(-8y = -8\)

\(y = 1\) - не подходит по ОДЗ.

Ответ: корней нет.

г) \(\dfrac{3}{y-2}+\dfrac{7}{y+2}=\dfrac{10}{y}\) \(/\times y(y-2)(y+2)\)

ОДЗ:

\(y\neq0\) и \(y - 2 \neq0\) и \(y + 2\neq0\)

              \(y \neq2\)            \(y \neq-2\)

\(3y(y+2)+7y(y-2)=10(y-2)(y+2))\)

\(3y^2+6y+7y^2-14y=10(y^2-4)\)

\(10y^2-8y=10y^2-40\)

\(\cancel{10y^2}-8y-\cancel{10y^2}=-40\)

\(-8y=-40\)

\(y = \frac{-40}{-8}\)

\(y=5\)

Ответ: \(5\).

д) \(\dfrac{x+3}{x-3}+\dfrac{x-3}{x+3}=3\dfrac{1}{3}\)

\(\dfrac{x+3}{x-3}+\dfrac{x-3}{x+3}=\dfrac{10}{3}\) \(/\times 3(x-3)(x+3)\)

ОДЗ: \(x-3\neq0\)  и  \(x+3\neq0\)

         \(x\neq3\)              \(x\neq-3\)

\(3(x+3)^2 +3(x-3)^2 = 10(x-3)(x+3)\)

\(3(x^2 +6x+9)+3(x^2 -6x+9)=10(x^2-9)\)

\(3x^2 + \cancel{18x} + 27 +3x^2 -\cancel{18x} +27 = 10x^2-90\)

\(6x^2 + 54 - 10x^2 + 90 = 0\)

\(-4x^2 + 144 =0\)

\(-4x^2 = -144\)

\(x^2 = \frac{-144}{-4}\)

\(x^2 = 36\)

\(x_{1,2} = \pm\sqrt{36}\)

\(x_1 = 6\),   \(x_2 = -6\).

Ответ: \(6;   -6\).

е) \(\dfrac{5x+7}{x-2}-\dfrac{2x+21}{x+2}=8\dfrac{2}{3}\)

\(\dfrac{5x+7}{x-2}-\dfrac{2x+21}{x+2}=\dfrac{26}{3}\) \(/\times 3(x-2)(x+2)\)

ОДЗ: \(x-2\neq0\)  и  \(x + 2\neq0\)

         \(x\neq2\)             \(x\neq-2\)

\(3(5x+7)(x+2) -3(2x+21)(x-2) = 26(x-2)(x+2)\)

\(3(5x^2+10x+7x+14)-3(2x^2-4x+21x-42) = 26(x^2 -4)\)

\(3(5x^2+17x+14)-3(2x^2+17x-42) = 26x^2 -104\)

\(15x^2 +\cancel{51x}+42 -6x^2-\cancel{51x}+126 - 26x^2+104 = 0\)

\(-17x^2 + 272=0\)

\(-17x^2 = -272\)

\(x^2 = \frac{-272}{-17}\)

\(x^2 = 16\)

\(x_{1,2} = \pm\sqrt{16}\)

\(x_1 = 4\),   \(x_2 = -4\).

Ответ: \(4;   -4\).

---

Пояснения:

Алгоритм решения уравнений:

1) найти ОДЗ (область допустимых значений), то есть те значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль;

2) найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение (предварительно, если возможно, разложить все знаменатели на множители);

3) умножить обе части уравнения на общий знаменатель;

4) решить получившееся целое уравнение;

5) исключить из его корней те, которые совпадают с ОДЗ.

Решение целых уравнений:

1) Полное квадратное уравнение \(ax^2 + bx + c=0\), которое решается через дискриминант \(D = b^2-4ac\).

– если \(D>0\), то уравнение имеет два корня:

\(x_1 =\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\);

\(x_2 =\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\).

– если \(D=0\), то уравнение имеет один корень:

\(x =-\frac{b}{2a}\).

– если \(D<0\), то уравнение не имеет корней.

2) Неполное квадратное уравнение вида \(ax^2 = b\), откуда при \(a\neq0\) имеем \(x^2 = \frac{b}{a}\), тогда \(x_{1,2} = \pm\sqrt{\frac{b}{a}}\).

3) Линейное уравнение вида \(ax = b\), которое при \(a\neq0\) имеет единственный корень \(x = \frac{b}{a}\).

Раскрытие скобок:

\(a(b + c) = ab + ac\);

\((a + b)(c -d) = ac - ad + bc -bd\).

Разность квадратов:

\(a^2 - b^2 = (a-b)(a + b)\)

Квадрат суммы:

\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\).

Квадрат разности:

\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).

Противоположные выражения:

\(a - b = -(b - a)\).

Вынесение общего множителя за скобки:

\(ka + kb = k(a + b)\).

Свойство дроби:

\(\frac{a}{-b} = \frac{-a}{b}\).

а) \( \frac{1}{11+2\sqrt{30}} ^{\color{blue}{\backslash11-2\sqrt{30}}} +\frac{1}{11-2\sqrt{30}} ^{\color{blue}{\backslash11+2\sqrt{30}}} =22\)

\(\frac{(11-2\sqrt{30})+(11+2\sqrt{30})}{(11+2\sqrt{30})(11-2\sqrt{30})} =22\)

\(\frac{11-\cancel{2\sqrt{30}}+11+2\sqrt{30}}{(11+\cancel{2\sqrt{30}})(11^{2}-(2\sqrt{30})^{2}} =22\)

\(\frac{22}{121-4\cdot30} =22\)

\(\frac{22}{121-120}=22\)

\(\frac{22}{1}=22\)

\(22 = 22\)

Что и требовалось доказать.

б) \( \frac{\sqrt5+2}{\sqrt5-2} ^{\color{blue}{\backslash \sqrt5+2}} +\frac{\sqrt5-2}{\sqrt5+2} ^{\color{blue}{\backslash \sqrt5-2}} =18\)

\(\frac{(\sqrt5+2)^2+(\sqrt5-2)^2}{(\sqrt5-2)(\sqrt5+2)} =18\)

\(\frac{(\sqrt5)^2+\cancel{4\sqrt 5}+4+(\sqrt5)^2-\cancel{4\sqrt 5}+4}{(\sqrt5)^2-2^2} =18\)

\(\frac{5+4+5+4}{5-4} =18\)

\(\frac{18}{1}=18 \)

\(18 = 18\)

Что и требовалось доказать.

---

Пояснения:

Использованные приемы и формулы:

- Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, приводим их к общему знаменателю и складываем числители.

- Разность квадратов двух выражений:

\( (a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}\).

- Квадрат суммы двух выражений:

\((a+ b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}. \)

- Квадрат разности двух выражений:

\((a- b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}. \)

- Свойство корня:

\((\sqrt a)^2 = a\).

- Свойство степени:

\((ab)^n = a^nb^n\).