Симметрии фигур (осевая, центральная, поворотная, переносная)

Осевая симметрия

Если прямая проходит через середину отрезка А₁А₂ и перпендикулярна к нему, то точки А₁ и А₂ называются симметричными относительно прямой . Каждая точка прямой симметрична самой себе.

Фигура называется симметричной относительно прямой , если для каждой точки фигуры симметричная ей точка  относительно прямой также принадлежит этой фигуре. Прямая - ось симметрии фигуры. Говорят также, что фигура обладает осевой симметрией.

Пример (синим цветом обозначены оси симметрии):

Имеются фигуры, у которых нет ни одной оси симметрии.

Ось симметрии точек А и А₁ является серединным перпендикуляром к отрезку АА₁. Также помним, что каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от его концов, поэтому каждая точка оси симметрии двух точек равноудалена от этих точек.

Две фигуры называются симметричными относительно прямой, если каждая точка одной фигуры симметрична некоторой точке другой фигуры, и обратно. Данная прямая называется осью симметрии этих фигур. На рисунке ниже фигуры H и Н₁, В и В₁, С и С₁ симметричны относительно прямой .

Свойства осевой симметрии

Если - некоторая прямая, то каждой точке А плоскости симметрична относительно прямой только одна точка А₁. Говорят, что прямая задает на плоскости осевую симметрию с осью .

В то случае, когда осевая симметрия задана, то для каждой фигуры существует симметричная ей фигура относительно оси .

10. Если две прямые и симметричны относительно оси а, то они либо параллельны, либо их точка пересечения лежит на оси симметрии  .

 Действительно, если прямая пересекает ось а в точке В, то точка В симметрична самой себе и симметрична какой-либо точке на прямой  . Тогда прямая также пересекает ось а в точке В (смотри рисунок ниже).

Доказательство:

1 случай

Пусть А и В — две точки, а А₁ и В₁ — симметричные им точки относительно прямой  .

Пусть С — середина отрезка АА₁, D — середина отрезка ВВ₁. Точки C и D принадлежат оси симметрии , поэтому треугольник BСB₁ — равнобедренный (т.к. ВСD = В₁СD по двум катетам: СВ - общий катет, ВD = В₁D, значит,  ВС = В₁С). Тогда CD — высота и биссектриса, проведённая к его основанию ВВ₁. Следовательно, в AСB и A₁СB₁ AСB = A₁СB₁ (т.к. СD - биссектриса ВСВ₁, тогда ВСD = В₁СD, а AСB и A₁СB₁ смежные с углами ВСD и В₁СD). ACB = A₁CB₁ по первому признаку, поэтому их соответственные стороны АВ и А₁В₁ равны. Получается, расстояние между точками А и В равно расстоянию между симметричными им точками А₁ и В₁, что и требовалось доказать.

2 случай

Пусть А и В — две точки, а А₁ и В₁ — симметричные им точки относительно прямой  .

Доказательство:

АВ = АЕ - ВЕ и А₁В₁ = А₁Е - В₁Е, при этом АЕ = А₁Е и ВЕ = В₁Е по определению осевой симметрии, следовательно, АВ = А₁В₁, значит, расстояние между точками А и В равно расстоянию между симметричными им точками А₁ и В₁, что и требовалось доказать.

3 случай

Пусть А и В — две точки, а А₁ и В₁ — симметричные им точки относительно прямой  .

АРЕ = А₁РЕ по двум катетам (АЕ = А₁Е, ЕР - общий катет), поэтому их соответственные стороны АР и А₁Р равны.

ВРK = В₁РK по двум катетам (АЕ = А₁Е, ЕР - общий катет), поэтому их соответственные стороны BР и В₁Р равны.

АВ = АР + ВР и А₁В₁  = А₁Р + В₁Р, значит, АВ = А₁В₁, следовательно, расстояние между точками А и В равно расстоянию между симметричными им точками А₁ и В₁, что и требовалось доказать.

4 случай

Пусть А и В — две точки, а А₁ и В₁ — симметричные им точки относительно прямой  .

Доказательство:

АЕF = АВF по второму признаку (АF - общая, ЕАF = АFВ и ЕFА = FАВ как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых АА₁ и ВВ₁ секущей АF), значит, АВ = ЕF.

Аналогично, А₁ЕF = А₁В₁F по второму признаку (А₁F - общая, ЕА₁F = А₁FВ₁ и ЕFА₁ = FА₁В₁ как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых АА₁ и ВВ₁ секущей А₁F), значит, А₁В₁ = ЕF.

Итак, АВ = ЕF и А₁В₁ = ЕF, поэтому АВ = А₁В₁, следовательно, расстояние между точками А и В равно расстоянию между симметричными им точками А₁ и В₁, что и требовалось доказать.

4 случай

Пусть А и В — две точки, а А₁ и В₁ — симметричные им точки относительно прямой  .

Доказательство:

Точки А и А₁, В и В₁ совпадают, значит, совпадают отрезки АВ и А₁В₁, следовательно, расстояние между точками А и В равно расстоянию между симметричными им точками А₁ и В₁, что и требовалось доказать.

Центральная симметрия

Точки А₁ и А₂ называются симметричными относительно точки О, если О - середина отрезка А₁А₂.

Точка О считается симметричной самой  себе.

На рисунке ниже точки Е и Е₁, Р и Р₁ симметричны относительно точки О, а точки S и K не симметричны относительно этой точки (так как отрезки ОS и ОK не равны).

Фигура называется симметричной относительно точки О, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка  относительно точки О также принадлежит этой фигуре. Точка О называется центром симметрии фигуры.

Пример (синим цветом обозначены центры симметрии):

Центр симметрии окружности - ее центр, а центр симметрии параллелограмма - точка пересечения его диагоналей. Прямая также обладает центральной симметрией, однако в отличие от окружности и параллелограмма, которые имеют только один центр симметрии, у прямой их бесконечно много - любая точка прямой является ее центром симметрии. Примером фигуры не имеющей центра симметрии, является произвольный треугольник.

Поворотная симметрия

Переносная симметрия

Внутренняя симметрия

Внутренней симметрией (или симметрией) фигуры называется любое движение плоскости, отличное от тождественного преобразования, которое фигуру отображает на себя.