Параллельный перенос

Если нам дан вектор , то параллельным переносом на вектор называется отображение плоскости на себя, при котором произвольная точка Е отображается в такую точку Е₁, что .

Доказательство:

Дано: точки Е и К отображаются в точки Е₁ и К₁ при параллельном переносе на .

Доказать: параллельный перенос - движение.

Доказательство:

1 случай

Точки Е и К не лежат на одной прямой параллельной вектору .

По условию точки Е и К отображаются в точки Е₁ и К₁ соответственно при параллельном переносе на вектор , тогда по определению параллельного переноса и , поэтому , следовательно, и , значит, ЕЕ₁КК₁ (т.к. точки Е и К не лежат на одной прямой параллельной вектору ) и ЕЕ₁ = КК₁. Следовательно, по признаку параллелограмма четырехугольник ЕЕ₁К₁К - параллелограмм, поэтому по свойству параллелограмма ЕК = Е₁К₁, т.е. расстояние между точками Е и К равно расстоянию между точками Е₁ и К₁. Получаем, что параллельный перенос сохраняет расстояния между точками, значит, является частным случаем движения.

2 случай

Точки Е и К лежат на одной прямой параллельной вектору .

По условию точки Е и К отображаются в точки Е₁ и К₁ соответственно при параллельном переносе на вектор , тогда по определению параллельного переноса и , поэтому , следовательно, , значит, ЕЕ₁ = КК₁.  (1)

ЕК = КК₁ + ЕК₁, Е₁К₁ = ЕЕ₁ + ЕК₁, тогда, учитывая (1), получим: ЕК = Е₁К₁, т.е. расстояние между точками Е и К равно расстоянию между точками Е₁ и К₁. Получаем, что параллельный перенос сохраняет расстояния между точками, значит, является частным случаем движения.

Пример

Построить А₁В₁С₁, который получается из АВС параллельным переносом на вектор .

Дано: АВС, вектор .

Построить: А₁В₁С₁ параллельным переносом на вектор .

Решение:

Построим точки А₁, В₁, С₁, которые получаются из точек А, В, С соответственно, параллельным переносом на вектор  . Для этого от точек А, В и С отложим векторы, равные вектору . Соединяя попарно точки А₁, В₁, С₁ отрезками, получим искомый А₁В₁С₁.