Параллелограмм

Параллелограмм - выпуклый четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. На рисунке 1 изображен параллелограмм АВСD, противоположные стороны АВ и DC, АD и ВС параллельны, т.е. АВDC, АDВС.

Свойства параллелограмма:

Доказательство:

Дано: АВСD - параллелограмм.

Доказать: АВ = DC, АD = ВС, А =C, В =D.

Доказательство:

1. Проведем в параллелограмме АВСD диагональ АС.

2. Рассмотрим АВС и АDС: АС - общая, 1 =3 и 2 =4 (т.к. по условию АВСD - параллелограмм, АВDC, 1 и 3, 2 и 4 накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых АВ и DC секущей АС), АВС =АDС (по стороне и двум прилежащим к ней углам), АВ = DC, АD = ВС и В =D.

3. А =1 +2, C =3 +4, при этом 1 =3 и 2 =4, А =C. Что и требовалось доказать.

Иллюстрация свойства 1⁰

Доказательство:

Дано: АВСD - параллелограмм, АС и DВ - диагонали, АСDВ = О.

Доказать: АО = ОС, DО = ОВ.

Доказательство:

Рассмотрим АОD и ВОС: АD = ВС (как противоположные стороны параллелограмма), 1 =4 и 2 =3 (т.к. по условию АВСD - параллелограмм, АDВС, 1 и 4, 2 и 3 накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых АD и ВС секущими АС и DВ соответственно), АОD =ВОС (по стороне и двум прилежащим к ней углам), АО = ОС, DО = ОВ. Что и требовалось доказать.

Иллюстрация свойства 2⁰