Параллелограмм

Параллелограмм - выпуклый четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. На рисунке 1 изображен параллелограмм АВСD, противоположные стороны АВ и DC, АD и ВС параллельны, т.е. АВDC, АDВС.

Свойства параллелограмма:

10. В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.

Доказательство:

Дано: АВСD - параллелограмм.

Доказать: АВ = DC, АD = ВС, А =C, В =D.

Доказательство:

1. Проведем в параллелограмме АВСD диагональ АС.

2. Рассмотрим АВС и АDС: АС - общая, 1 =3 и 2 =4 (т.к. по условию АВСD - параллелограмм, АВDC, 1 и 3, 2 и 4 накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых АВ и DC секущей АС), АВС =АDС (по стороне и двум прилежащим к ней углам), АВ = DC, АD = ВС и В =D.

3. А =1 +2, C =3 +4, при этом 1 =3 и 2 =4, А =C. Что и требовалось доказать.

Иллюстрация свойства 10

20. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Доказательство:

Дано: АВСD - параллелограмм, АС и - диагонали, АС = О.

Доказать: АО = ОС, = ОВ.

Доказательство:

Рассмотрим АОD и ВОС: АD = ВС (как противоположные стороны параллелограмма), 1 =4 и 2 =3 (т.к. по условию АВСD - параллелограмм, АDВС, 1 и 4, 2 и 3 накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых АD и ВС секущими АС и соответственно), АОD =ВОС (по стороне и двум прилежащим к ней углам), АО = ОС, = ОВ. Что и требовалось доказать.

Иллюстрация свойства 20

Советуем посмотреть:

Многоугольник

Выпуклый многоугольник

Четырехугольник

Признаки параллелограмма

Трапеция

Прямоугольник

Ромб и квадрат

Симметрии фигур (осевая, центральная, поворотная, переносная)

Четырехугольники

Правило встречается в следующих упражнениях:

7 класс

Задание 384, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Юдина, Позняк, Учебник

Задание 399, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Юдина, Позняк, Учебник

Задание 409, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Юдина, Позняк, Учебник

Задание 430, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Юдина, Позняк, Учебник

Задание 459, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Юдина, Позняк, Учебник

Задание 502, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Юдина, Позняк, Учебник

Задание 774, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Юдина, Позняк, Учебник

Задание 1076, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Юдина, Позняк, Учебник

Задание 1303, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Юдина, Позняк, Учебник

Задание 1346, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

8 класс

Номер 432, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 450, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник