В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. |
Дано: АВС - равнобедренный, ВС - основание.
Доказать: В = С.
Доказательство:
Проведем биссектрису АD из вершины А к стороне ВС.
Рассмотрим АВD и АСD: АВ = АС по условию (АВС - равнобедренный), АD - общая сторона, BAD = CAD, так как АD - биссектриса по построению, АВD = АСD по первому признаку равенства треугольников В = С, потому что в равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы (В лежит против стороны АС, С. - против стороны АВ).
Теорема доказана.
Если в каком-либо треугольнике два угла равны, то такой треугольник равнобедренный. |
В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой. |
Дано: АВС - равнобедренный, ВС - основание, АD - биссектриса.
Доказать: АD - медиана и высота.
Доказательство:
Рассмотрим АВD и АСD: АВ = АС по условию (АВС - равнобедренный), АD - общая сторона, BAD = CAD, так как АD - биссектриса по условию, АВD = АСD по первому признаку равенства треугольников ВD = DC и ADВ = ADС.
Мы доказали, что ВD = DC точка D - середина стороны ВС, тогда АD является медианой АВС (по определению медианы).
Мы доказали, что ADВ = ADС, причем ADВ и ADС - смежные углы, поэтому ADВ + ADС = 1800, тогда ADВ = ADС = 900, т.е. АDBC, а это означает, что AD является высотой АВС (по определению высоты).
Теорема доказана.
Если в каком-либо треугольнике медиана и высота совпадут, то такой треугольник равнобедренный, а сторона, к которой они проведены, основание данного треугольника. |
В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является медианой и биссектрисой. |
Если в каком-либо треугольнике медиана и биссектриса совпадут, то такой треугольник равнобедренный, а сторона, к которой они проведены, основание данного треугольника. |
В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является высотой и биссектрисой. |
Если в каком-либо треугольнике высота и биссектриса совпадут, то такой треугольник равнобедренный, а сторона, к которой они проведены, основание данного треугольника. |
Важно помнить, что данные теоремы справедливы только в том случае, если высота, медиана и биссектриса равнобедренного треугольника проведены к его ОСНОВАНИЮ.
Если треугольник равносторонний, то данные теоремы справедливы для медиан, биссектрис и высот, проведенных к каждой из сторон треугольника.
EFG - равносторонний:
Первый признак равенства треугольников
Второй признак равенства треугольников
Третий признак равенства треугольников
Построения циркулем и линейкой
7 класс
Задание 291, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 634, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 733, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 820, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 843, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 1275, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 12, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 2, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 276, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 340, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник