Свойства равнобедренного треугольника

1. Теорема

Дано: АВС - равнобедренный, ВС - основание.

Доказать: В = С.

Доказательство:

Проведем биссектрису АD из вершины А к стороне ВС.

Рассмотрим АВD и АСD: АВ = АС по условию (АВС - равнобедренный), АD - общая сторона, BAD = CAD, так как АD - биссектриса по построению, АВD = АСD по первому признаку равенства треугольников В = С, потому что в равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы (В лежит против стороны АС, С. - против стороны АВ).

Теорема доказана.

Справедливо и обратное утверждение:

2. Теорема

Дано: АВС - равнобедренный, ВС - основание, АD - биссектриса.

Доказать: АD - медиана и высота.

Доказательство:

Рассмотрим АВD и АСD: АВ = АС по условию (АВС - равнобедренный), АD - общая сторона, BAD = CAD, так как АD - биссектриса по условию, АВD = АСD по первому признаку равенства треугольников ВD = DC и ADВ = ADС. 

Мы доказали, что ВD = DC точка D - середина стороны ВС, тогда АD является медианой АВС (по определению медианы).

Мы доказали, что ADВ = ADС, причем ADВ и ADС - смежные углы, поэтому ADВ + ADС = 180⁰,  тогда ADВ = ADС = 90⁰, т.е. АDBC, а это означает, что AD является высотой АВС (по определению высоты).

Теорема доказана.

Справедливо и обратное утверждение:

3. Теорема

Справедливо и обратное утверждение:

4. Теорема

Справедливо и обратное утверждение:

Важно помнить, что данные теоремы справедливы только в том случае, если высота, медиана и биссектриса равнобедренного треугольника проведены к его ОСНОВАНИЮ.

Если треугольник равносторонний, то данные теоремы справедливы для медиан, биссектрис и высот, проведенных к каждой из сторон треугольника.

EFG - равносторонний:

• ЕС - биссектриса, медиана и высота, проведенная к стороне FG,
• FK - биссектриса, медиана и высота, проведенная к стороне ЕG,
• GM - биссектриса, медиана и высота, проведенная к стороне ЕF.