Признаки параллелограмма

Доказательство:

Дано: АВСD - четырехугольник, АD = ВС, АDВС.

Доказать: АВСD - параллелограмм.

Доказательство:

1. Проведем диагональ АС четырехугольника АВСD.

2. Рассмотрим АВС и АDС: АС - общая, 1 =3 (т.к. по условию АDВС, 1 и 3 накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых АD и BC секущей АС), АВС =АDС (по 1 признаку равенства треугольников), АВ = DC и 2 = 4. Но 2 и 4 накрест лежащие углы при пересечении прямых АВ и DС секущей АС, АВDС.

3. Итак, АDВС и АВDС, т.е. в четырехугольнике АВСD противоположные стороны попарно параллельны, четырехугольник АВСD - параллелограмм. Что и требовалось доказать.

Доказательство:

Дано: АВСD - четырехугольник, АВ = DС, АD = ВC.

Доказать: АВСD - параллелограмм.

Доказательство:

1. Проведем диагональ АС четырехугольника АВСD.

2. Рассмотрим АВС и АDС: АС - общая, по условию АВ = DС, АD = ВC, АВС =АDС (по 3 признаку равенства треугольников),   1 = 2, при этом 1 и 2 накрест лежащие при пересечении прямых АD и ВC секущей АС, по признаку параллельности двух прямых АDВС.

3. Итак, АD = ВC, АDВС, по 1⁰ признаку параллелограмма, четырехугольник АВСD - параллелограмм. Что и требовалось доказать.

Доказательство:

Дано: АВСD - четырехугольник, АС и DВ диагонали, АС$\cap$DВ = О, АО = ОС, DО = ОВ.

Доказать: АВСD - параллелограмм.

Доказательство:

1. Рассмотрим АОD и ВОС: по условию АО = ОС, DО = ОВ,  АОD и  ВОС (как вертикальные углы), АОD =ВОС (по 1 признаку равенства треугольников), АD = ВC и 1 = 2.

2. 1 и 2 накрест лежащие при пересечении прямых АD и ВC секущей АС, при этом 1 = 2, по признаку параллельности двух прямых АDВС.

3. Итак, АD = ВC, АDВС, по 1⁰ признаку параллелограмма, четырехугольник АВСD - параллелограмм. Что и требовалось доказать.