Признаки параллелограмма

10. Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник - параллелограмм.

Доказательство:

Дано: АВСD - четырехугольник, АD = ВС, АDВС.

Доказать: АВСD - параллелограмм.

Доказательство:

1. Проведем диагональ АС четырехугольника АВСD.

2. Рассмотрим АВС и АDС: АС - общая, 1 =3 (т.к. по условию АDВС, 1 и 3 накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых АD и BC секущей АС), АВС =АDС (по 1 признаку равенства треугольников), АВ = DC и 2 = 4. Но 2 и 4 накрест лежащие углы при пересечении прямых АВ и секущей АС, АВ.

3. Итак, АDВС и АВ, т.е. в четырехугольнике АВСD противоположные стороны попарно параллельны, четырехугольник АВСD - параллелограмм. Что и требовалось доказать.

 

20. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник - параллелограмм.

Доказательство:

Дано: АВСD - четырехугольник, АВ = , АD = ВC.

Доказать: АВСD - параллелограмм.

Доказательство:

1. Проведем диагональ АС четырехугольника АВСD.

2. Рассмотрим АВС и АDС: АС - общая, по условию АВ = , АD = ВC, АВС =АDС (по 3 признаку равенства треугольников),   1 = 2, при этом 1 и 2 накрест лежащие при пересечении прямых АD и ВC секущей АС, по признаку параллельности двух прямых АDВС.

3. Итак, АD = ВC, АDВС, по 10 признаку параллелограмма, четырехугольник АВСD - параллелограмм. Что и требовалось доказать.

 

30. Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник параллелограмм.

Доказательство:

Дано: АВСD - четырехугольник, АС и диагонали, АС = О, АО = ОС, = ОВ.

Доказать: АВСD - параллелограмм.

Доказательство:

1. Рассмотрим АОD и ВОС: по условию АО = ОС, = ОВАОD и  ВОС (как вертикальные углы), АОD =ВОС (по 1 признаку равенства треугольников), АD = ВC и 1 = 2.

2. 1 и 2 накрест лежащие при пересечении прямых АD и ВC секущей АС, при этом 1 = 2, по признаку параллельности двух прямых АDВС.

3. Итак, АD = ВC, АDВС, по 10 признаку параллелограмма, четырехугольник АВСD - параллелограмм. Что и требовалось доказать.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Советуем посмотреть:

Многоугольник

Выпуклый многоугольник

Четырехугольник

Параллелограмм

Трапеция

Прямоугольник

Ромб и квадрат

Осевая и центральная симметрии

Четырехугольники

Правило встречается в следующих упражнениях:

7 класс

Задание 379, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 382, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 383, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 395, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 399, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 440, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 567, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1179, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1291, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1305, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник