Теорема о накрест лежащих углах

Теорема

Дано: , АВ - секущая, 1 и 2 - накрест лежащие (Рис.1).

Доказать: 1 =2.

Доказательство:

Предположим,что углы 1 и 2 не равны друг другу. Отложим от луча АВ угол РАВ, равный углу 2, так, чтобы РАВ и 2 были накрест лежащими углами при пересечении прямых АР и секущей АВ (Рис.2).

По построению накрест лежащие углы РАВ и 2 равны, значит АР (по признаку параллельности двух прямых). То есть мы получили, что через точку А проходят две прямые и АР, параллельные прямой . Но это противоречит аксиоме параллельных прямых. Значит наше предположение неверно и 1 = 2. Что и требовалось доказать.

Следствие

 Дано: , (Рис.3).

Доказать: .

Доказательство:

Прямая пересекает прямую , при этом , значит пересекает и прямую (смотри следствие 2⁰ из аксиомы параллельных прямых). При пересечении параллельных прямых и секущей образуются равные накрест лежащие углы: 1 =2 (по теореме о накрест лежащих углах). По условию , т.е. 1 = 90⁰, значит и 2 = 90⁰ , т.е. . Что и требовалось доказать.