Теорема о накрест лежащих углах

Теорема

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны.

Дано: , АВ - секущая, 1 и 2 - накрест лежащие (Рис.1).

Доказать: 1 =2.

Доказательство:

Предположим,что углы 1 и 2 не равны друг другу. Отложим от луча АВ угол РАВ, равный углу 2, так, чтобы РАВ и 2 были накрест лежащими углами при пересечении прямых АР и секущей АВ (Рис.2).

По построению накрест лежащие углы РАВ и 2 равны, значит АР (по признаку параллельности двух прямых). То есть мы получили, что через точку А проходят две прямые и АР, параллельные прямой . Но это противоречит аксиоме параллельных прямых. Значит наше предположение неверно и 1 = 2. Что и требовалось доказать.

Следствие

Если прямая перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой.

 Дано: , (Рис.3).

Доказать: .

Доказательство:

Прямая пересекает прямую , при этом , значит пересекает и прямую (смотри следствие 20 из аксиомы параллельных прямых). При пересечении параллельных прямых и секущей образуются равные накрест лежащие углы: 1 =2 (по теореме о накрест лежащих углах). По условию , т.е. 1 = 900, значит и 2 = 900 , т.е. . Что и требовалось доказать.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Советуем посмотреть:

Параллельные прямые

Признаки параллельности двух прямых

Практические способы построения параллельных прямых

Аксиомы геометрии

Аксиома параллельных прямых

Теорема о соответственных углах

Теорема об односторонних углах

Теорема об углах с соответственно параллельными сторонами

Теорема об углах с соответственно перпендикулярными сторонами

Параллельные прямые

Правило встречается в следующих упражнениях:

7 класс

Задание 220, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 243, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 371, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 383, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 551, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 625, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 659, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 848, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 868, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 891, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник