Прямоугольник

Частным видом параллелограмма является прямоугольник.

ABCD - прямоугольник.

Прямоугольник обладает всеми свойствами параллелограмма.

Особое свойство прямоугольника

Доказательство

Дано: ABCD - прямоугольник

Доказать: AC = DB

Доказательство:

Рассмотрим ABD иACB: ABCD - прямоугольник, А и B - прямые, ABD иACB - прямоугольные. AD = CB (по свойству параллелограмма). AB - общий катет, ABD =ACB (по двум катетам). А в равных треугольниках против соответственно равных углов лежат равные стороны, значит, AC = DB, что и требовалось доказать.

Теорема

Доказательство

Дано: ABCD - параллелограмм, AC = DB

Доказать: ABCD - прямоугольник

Доказательство:

Рассмотрим ABD иACB:

AC = DB (по условию), AD = BC (по свойству параллелограмма), AB - общая, ABD =ACB (по трем сторонам). А в равных треугольниках против соответственно равных сторон лежат равные углы, A = B. А в параллелограмме противоположные углы равны, значит A = C и В = D, A = В = C = D (1). A + В + C + D = 360⁰ (2)(т.к. параллелограмм выпуклый четырёхугольник). Следовательно, из (2), учитывая (1), получаем, что A = В = C = D = 90⁰, ABCD - прямоугольник, что и требовалось доказать.

Теорема

Доказательство

Дано: ABCD - параллелограмм, A = 90⁰

Доказать: ABCD - прямоугольник

Доказательство:

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна 180⁰, т.е. A + В = 180⁰, В = 180⁰ - A = 180⁰ - 90⁰ = 90⁰

Противолежащие углы параллелограмма равны, A = C = 90⁰ и В = D = 90⁰

Итак: ABCD - параллелограмм (по условию), и все его углы прямые (по доказанному выше), ABCD - прямоугольник (по определению), что и требовалось доказать.

Две теоремы, доказанные выше, называют признаками прямоугольника.