Понятие движения

Осевая симметрия - это отображение плоскости на себя, которое сохраняет расстояния между точками.

Пусть прямая - ось симметрии. Возьмем две произвольные точки А и В, которые лежат по одну сторону от оси симметрии, и симметричные относительно прямой им точки А1 и В1:

Из точек А и А1 проведем перпендикуляры АС и А1С1 к прямой ВВ1. Рассмотрим АВС и А1В1С1: Они являются прямоугольными. Нам известно, что две прямые перпендикулярные к третьей прямой не пересекаются (т.е. являются параллельными). Значит, из того что АА1 и ВВ1, следует, что  то АА1ВВ1, аналогично, АСА1С1. Т.е. мы получили, что в четырехугольнике АСС1А1 стороны попарно параллельны, значит, этот четырехугольник является параллелограммом, а, следовательно, АС=А1С1. Так как АА1ВВ1, то АО1=СО2=О2С1=О1А1 (данное равенство верно, так как вершины прямоугольника симметричны относительно серединного перпендикуляра, который проведен к его сторонам), поэтому ВС=ВО2-СО2=О2В1-О2С1=С1В1. Итак, мы получили, что в рассматриваемых треугольниках АС=А1С1 и ВС=С1В1, значит, АВС=А1В1С1 (по двум катетам). Следовательно, АВ=А1В1, то есть расстояние между точками А и В равно расстоянию между симметричными им точками А1 и В1.

Рассмотрим случай, когда точки А и В лежат по разные стороны от оси симметрии:

Рассмотрим АО1О и А1О1О: О1О - общий катет, АО1=О1А1, т.к. точка А1 симметрична точке А, следовательно, АО1О=А1О1О (по двум катетам). Значит, АО=ОА1. Аналогично находим, что В1О=ОВ. Поэтому получаем, что АВ=АО+ОВ=ОА1+В1О=А1В1, т.е. и в данном случае расстояние между точками А и В равно расстоянию между симметричными им точками А1 и В1.

При других расположениях точек А, В и А1, В1 также получается, что АВ=А1В1:

Итак, мы получили, что осевая симметрия является отображением, которое сохраняет расстояния между точками.

Пусть точка О - центр симметрии. Возьмем две произвольные точки А и В и построим точки А1 и В1, которые будут симметричны данным относительно точки О:

Так как точка А симметрична точке А1 и В симметрична точке В1, то А1О=ОА и В1О=ОВ. АОВ=В1ОА1, так как они вертикальные. Следовательно, АОВ=В1ОА1 (по I признаку равенства треугольников) и АВ=А1В1, то есть расстояние между точками А и В равно расстоянию между симметричными им точками А1 и В1. Значит, центральная симметрия является отображением, которое сохраняет расстояния между точками.

Любое отображение, которое сохраняет расстояния между точками называется движением (или перемещением).

Движение плоскости - это отображение плоскости на себя, сохраняющее расстояния.

Поясним на примере осевой симметрии, по какой причине отображение, которое сохраняет расстояния, называют движением:

На рисунке видно, что осевую симметрию можно представить как поворот плоскости в пространстве на 1800 вокруг оси .

Теорема

При движении отрезок отображается на отрезок.

Доказательство

Дано: движение, отрезок АВ, А отображается в А1, В отображается в В1

Доказать, что отрезок АВ отображается на отрезок А1В1

Доказательство:

Возьмем произвольную точку САВ, которая отображается в точку С1.

АВ=АС+СВ.

При движении расстояния сохраняются, поэтому АВ=А1В1, АС=А1С1 и СВ=С1В1. (1)

Из данных равенств имеем, что А1В1=АВ=АС+СВ=А1С1+С1В1, следовательно, С1А1В1 (если предположить обратное, то будет выполнятся неравенство А1С1+С1В1>A1B1). Значит, точки отрезка АВ отображаются в точки отрезка А1В1.

Возьмем произвольную точку С1А1В1, при этом при заданном движении точка С отображается в данную точку С1. Из соотношений (1) и равенства А1В1=А1С1+С1В1, следует, что АС+СВ=АВ, а, значит, САВ. Т.е. в каждую точку С1 отрезка А1В1 отображается какая-нибудь точка С отрезка АВ. Теорема доказана.

Следствие

При движении треугольник отображается на равный ему треугольник треугольник.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Советуем посмотреть:

Отображение плоскости на себя

Наложения и движения

Параллельный перенос

Поворот

Движения

Правило встречается в следующих упражнениях:

7 класс

Задание 1151, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1154, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 4, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 5, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 7, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 8, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 11, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1173, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1177, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1303, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник