Частным видом параллелограмма является ромб.
Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны |
ABCD - ромб.
Ромб обладает всеми свойствами параллелограмма.
Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам |
Доказательство
Дано: ABCD - ромб
Доказать: ACBD, ADO = CDO
Доказательство:
AD = DC (по определению ромба), значит, ADC - равнобедренный.
AO = OC (по свойству диагоналей параллелограмма), DO - медиана ADC , а в равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является высотой и биссектрисой, ACBD, ADO = CDO, что и требовалось доказать.
Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то этот параллелограмм - ромб (признак ромба) |
Доказательство
Дано: ABCD - параллелограмм, ACBD
Доказать: ABCD - ромб
Доказательство:
Рассмотрим AOВ и COВ:
Т.к. ACBD, тоAOВ = COВ = 900;
AO = OC (по свойству диагоналей параллелограмма), ОВ - общий катет, AOВ = COВ (по двум катетам). В равных треугольниках против соответственно равных углов лежат равные стороны, ВС = ВА.
В параллелограмме противоположные стороны равны, AD = BC, AB = DC
Итак: ABCD - параллелограмм (по условию) AD = BC = AB = DC (по доказанному). ABCD - ромб, что и требовалось доказать.
Если диагональ параллелограмма является биссектрисой его угла, то этот параллелограмм - ромб (признак ромба) |
Доказательство
Дано: ABCD - параллелограмм, АС - диагональ и биссектриса DAB иDCB
Доказать: ABCD - ромб
Доказательство:
DAB =DCB (по свойству параллелограмма), а АС -биссектриса DAB иDCB (т.е. АС делит эти углы на два равных угла), DAC = BAC =DCA = BCA
Рассмотрим ADC: DAC =DCA, ADC - равнобедренный с основанием AC, и AD = DC. В параллелограмме противоположные стороны равны, AD = BC, AB = DC
Итак: ABCD - параллелограмм (по условию) AD = BC = AB = DC (по доказанному). ABCD - ромб, что и требовалось доказать.
Две теоремы, доказанные выше, называют признаками ромба.
Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны |
Основные свойства квадрата:
1. Все углы квадрата прямые.
2. Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам.
Признаки квадрата:
Симметрии фигур (осевая, центральная, поворотная, переносная)
7 класс
Задание 440, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 481, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 493, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 696, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 823, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 1089, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 1130, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 1132, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 1237, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 1, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник