Поворот

Пусть О - точка на плоскости, - угол поворота.

Поворот плоскости вокруг точки О на угол - это отображение плоскости на себя, при котором каждая точка Е отображается в такую точку Е1, что ОЕ = ОЕ1 и  ЕОЕ1.

При повороте плоскости вокруг точки О сама точка О остается на месте, т.е. отображается сама в себя, а все остальные точки поворачиваются вокруг точки О в одном и том же направлении - по часовой стрелке (как на рисунке выше) или против часовой стрелки.

Поворот - это частный случай движения, т.е. отображение плоскости на себя, при котором сохраняются расстояния.

Доказательство

Дано: О - центр поворота, - угол поворота по часовой стрелке (случай поворота против часовой стрелки рассматривается аналогично), точки Е и К отображаются при повороте в точки Е1 и К1.

Доказать: поворот - движение.

Доказательство:

1 случай

Точки О, Е и К не лежат на одной прямой.

ОЕК = ОЕ1К1 по двум сторонам и углу между ними (ОЕ = ОЕ1, ОК = ОК1, т.к. Е и К отображаются при повороте в Е1 и К1, ЕОК = Е1ОК1 = + Е1ОК). В равных треугольниках элементы соответственно равны поэтому ЕК = Е1К1, т.е. расстояние между точками Е и К равно расстоянию между точками Е1 и К1. Значит, поворот сохраняет расстояния между точками и поэтому является частным случаем движения.

2 случай

Точки О, Е и К лежат на одной прямой.

ЕК = ОЕ - ОК и Е1К1 = ОЕ1 - ОК1, при этом ОЕ = ОЕ1, ОК = ОК1, т.к. Е и К отображаются при повороте в Е1 и К1, следовательно, ЕК = Е1К1, т.е. расстояние между точками Е и К равно расстоянию между точками Е1 и К1. Значит, поворот сохраняет расстояния между точками и поэтому является частным случаем движения.

Пример

Построить А1В1С1, который получается из АВС поворотом вокруг точки О по часовой стрелке на угол .

Построим точки А1, В1 и С1, которые получаются из точек А, В и С поворотом вокруг точки О по часовой стрелке на угол . Соединяя попарно точки А1, В1, С1 отрезками, получим искомый А1В1С1.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Советуем посмотреть:

Отображение плоскости на себя

Понятие движения

Наложения и движения

Параллельный перенос

Движения

Правило встречается в следующих упражнениях:

7 класс

Задание 1166, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1167, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1168, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1169, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1170, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 16, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 17, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1180, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1183, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1303, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник