Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№707 учебника 2023-2026 (стр. 191):
Упростите:
а) \(\dfrac{2}{x^2-3x}-\dfrac{1}{x^2+3x}-\dfrac{x+1}{x^2-9}\);
б) \(\dfrac{2y+1}{y^2+3y}+\dfrac{y+2}{3y-y^2}-\dfrac{1}{y}\);
в) \(\dfrac{a^2+16a+12}{a^3-8}-\dfrac{2-3a}{a^2+2a+4}-\dfrac{3}{a-2}\);
г) \(\dfrac{2}{4b^2-6b+9}+\dfrac{4b^2+18}{8b^3+27}-\dfrac{1}{2b+3}\).
№707 учебника 2014-2022 (стр. 180):
Последовательность \((b_n)\) — геометрическая прогрессия. Докажите, что:
а) если \(b_1>0\) и \(q>1\), то каждый следующий член прогрессии больше предыдущего;
б) если \(b_1>0\) и \(0 < q < 1\), то каждый следующий член прогрессии меньше предыдущего.
в) если \(b_1<0\) и \(q>1\), то каждый следующий член прогрессии меньше предыдущего;
г) если \(b_1 < 0\) и \(0 < q < 1\), то каждый следующий член прогрессии больше предыдущего.
Для каждого из рассмотренных случаев приведите пример.
№707 учебника 2023-2026 (стр. 191):
Вспомните:
№707 учебника 2014-2022 (стр. 180):
Вспомните:
№707 учебника 2023-2026 (стр. 191):
а) \(\small \dfrac{2}{x^2-3x}-\dfrac{1}{x^2+3x}-\dfrac{x+1}{x^2-9}=\)
\(\small =\dfrac{2}{x(x-3)}^{\color{red}{\backslash{(x+3)}}}-\dfrac{1}{x(x+3)}^{\color{red}{\backslash{(x-3)}}}-\)
\(\small-\dfrac{x+1}{(x-3)(x+3)}^{\color{red}{\backslash{(x)}}}=\)
\(\small =\dfrac{2(x+3)}{x(x-3)(x+3)}-\)
\(\small-\dfrac{x-3}{x(x-3)(x+3)}-\dfrac{x(x+1)}{x(x-3)(x+3)}=\)
\(\small=\dfrac{2(x+3)-(x-3)-x(x+1)}{x(x-3)(x+3)}=\)
\(\small=\dfrac{2x+6-x+3-x^2-x}{x(x-3)(x+3)}=\)
\(\small=\dfrac{9-x^2}{x(x-3)(x+3)}=\dfrac{(3-x)(3+x)}{x(x-3)(x+3)}=\)
\(\small =-\dfrac{(x-3)(3+x)}{x(x-3)(x+3)}=-\dfrac{1}{x}.\)
б) \(\small \dfrac{2y+1}{y^2+3y}+\dfrac{y+2}{3y-y^2}-\dfrac{1}{y}=\)
\(\small =\dfrac{2y+1}{y(y+3)}+\dfrac{y+2}{y(3-y)}-\dfrac{1}{y}=\)
\(\small =\dfrac{2y+1}{y(y+3)}^{\color{red}{\backslash{(y-3)}}}-\dfrac{y+2}{y(y-3)}^{\color{red}{\backslash{(y+3)}}}-\dfrac{1}{y}^{\color{red}{\backslash{(y+3)(y-3)}}}=\)
\(\small =\dfrac{(2y+1)(y-3)}{y(y+3)(y-3)}-\)
\(\small-\dfrac{(y+2)(y+3)}{y(y+3)(y-3)}-\dfrac{(y+3)(y-3)}{y(y+3)(y-3)}=\)
\(\small =\dfrac{2y^2+y-6y-3}{y(y^2-9)}-\)
\(\small-\dfrac{y^2+2y+3y+6}{y(y^2-9)}-\dfrac{y^2-9}{y(y^2-9)}=\)
\(\small =\dfrac{2y^2-5y-3}{y(y^2-9)}-\dfrac{y^2+5y+6}{y(y^2-9)}-\dfrac{y^2-9}{y(y^2-9)}=\)
\(\small =\dfrac{(2y^2-5y-3)-(y^2+5y+6)-(y^2-9)}{y(y^2-9)}=\)
\(\small =\dfrac{2y^2-5y-3-y^2-5y-6-y^2+9}{y(y^2-9)}=\)
\(\small=\dfrac{-10y}{y(y+3)(y-3)}=-\dfrac{10}{y^2-9}=\dfrac{10}{9-y^2}.\)
в) \(\small \dfrac{a^2+16a+12}{a^3-8}-\dfrac{2-3a}{a^2+2a+4}-\dfrac{3}{a-2}=\)
\(\small =\dfrac{a^2+16a+12}{(a-2)(a^2+2a+4)}-\)
\(\small -\dfrac{2-3a}{a^2+2a+4}^{\color{red}{\backslash{(a-2)}}}-\dfrac{3}{a-2}^{\color{red}{\backslash{(a^2+2a+4)}}}=\)
\(\small =\dfrac{a^2+16a+12}{(a-2)(a^2+2a+4)}-\)
\(\small-\dfrac{(2-3a)(a-2)}{(a-2)(a^2+2a+4)}-\)
\(\small-\dfrac{3(a^2+2a+4)}{(a-2)(a^2+2a+4)}=\)
\(\small =\dfrac{a^2+16a+12-(2-3a)(a-2)}{(a-2)(a^2+2a+4)}-\)
\(\small-\dfrac{3(a^2+2a+4)}{(a-2)(a^2+2a+4)}=\)
\(\small =\dfrac{a^2+16a+12-(2a-4-3a^2+6a)}{(a-2)(a^2+2a+4)}-\)
\(\small-\dfrac{3(a^2+2a+4)}{(a-2)(a^2+2a+4)}=\)
\(\small =\dfrac{a^2+16a+12-8a+4+3a^2}{(a-2)(a^2+2a+4)}-\)
\(\small-\dfrac{3(a^2+2a+4)}{(a-2)(a^2+2a+4)}=\)
\(\small =\dfrac{4a^2+8a+16-3(a^2+2a+4)}{(a-2)(a^2+2a+4)}=\)
\(\small =\dfrac{4a^2+8a+16-3a^2-6a-12}{(a-2)(a^2+2a+4)}=\)
\(\small=\dfrac{a^2+2a+4}{(a-2)(a^2+2a+4)}=\dfrac{1}{a-2}\)
г) \(\small \dfrac{2}{4b^2-6b+9}+\dfrac{4b^2+18}{8b^3+27}-\dfrac{1}{2b+3}=\)
\(\small =\dfrac{2}{4b^2-6b+9}^{\color{red}{\backslash{(2b+3)}}}+\dfrac{4b^2+18}{(2b+3)(4b^2-6b+9)}-\dfrac{1}{2b+3}^{\color{red}{\backslash{(4b^2-6b+9)}}}=\)
\(\small =\dfrac{2(2b+3)}{(2b+3)(4b^2-6b+9)}+\)
\(\small +\dfrac{4b^2+18}{(2b+3)(4b^2-6b+9)}-\)
\(\small-\dfrac{4b^2-6b+9}{(2b+3)(4b^2-6b+9)}=\)
\(\small =\dfrac{2(2b+3)+(4b^2+18)-(4b^2-6b+9)}{(2b+3)(4b^2-6b+9)}\)
\(\small =\dfrac{4b+6+4b^2+18-4b^2+6b-9}{(2b+3)(4b^2-6b+9)}=\)
\(\small =\dfrac{10b+15}{(2b+3)(4b^2-6b+9)}=\)
\(\small =\dfrac{5(2b+3)}{(2b+3)(4b^2-6b+9)}=\dfrac{5}{4b^2-6b+9}.\)
Пояснения:
Используемые формулы:
1) Разность квадратов двух выражений:
\((a-b)(a+b)=a^2-b^2\).
2) Квадрат суммы и квадрат разности двух выражений:
\((a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2\).
3) Сумма кубов двух выражений:
\((a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3\).
4) Разность кубов двух выражений:
\((a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3\).
5) Сложение дробей с разными знаменателями:
\(\dfrac{p}{m}\pm\dfrac{q}{n}=\dfrac{pn\pm qm}{mn}\)
а) Что делалось
Знаменатели разложены: \(x^2-3x=x(x-3)\), \(x^2+3x=x(x+3)\), \(x^2-9=(x-3)(x+3)\).
Общий знаменатель: \(x(x-3)(x+3)\).
После приведения к общему знаменателю числитель упрощается до \(- (x-3)(x+3)\), и сокращение даёт \(-\dfrac{1}{x}\).
б) Что делалось
Знаменатели разложены: \(y^2+3y=y(y+3)\), \(3y-y^2=y(3-y)=-y(y-3)\).
Общий знаменатель: \(y(y+3)(y-3)\).
После сложения и вычитания получается \(-10y\) в числителе, затем сокращается \(y\): \(-\dfrac{10}{(y-3)(y+3)}\).
в) Что делалось
Разложение разности кубов:
\(a^3-8=a^3-2^3=(a-2)(a^2+2a+4)\).
Общий знаменатель: \((a-2)(a^2+2a+4)\).
Числитель после раскрытия скобок приводится к \(a^2+2a+4\), этот множитель сокращается, остаётся \(\dfrac{1}{a-2}\).
г) Что делалось
Разложение суммы кубов:
\(8b^3+27=(2b)^3+3^3=(2b+3)(4b^2-6b+9)\).
Общий знаменатель: \((2b+3)(4b^2-6b+9)\).
Числитель упрощается до \(5(2b+3)\), сокращение \((2b+3)\) даёт \(\dfrac{5}{4b^2-6b+9}\).
№707 учебника 2014-2022 (стр. 180):
а) \((b_n)\) - геометрическая прогрессия,
\(b_1>0,\ q>1\).
Доказать: \(b_{n+1}>b_n\).
Доказательство:
\(q^{n-1}>1\), \(q - 1 > 0\)
\(b_n = b_1q^{n-1} >0\),
\[b_{n+1}=b_n q\]
\(b_{n+1}-b_n=b_nq - b_n =\)
\(=b_n(q-1)>0\), так как
\(b_n > 0\) и \(q - 1 > 0\), значит,
\(b_{n+1}>b_n\).
Пример:
Пусть \(b_1 = 1\), \(q = 2\), тогда
\(b_2 = b_1q = 1\cdot2 = 2\).
\(b_3 = b_2q = 2\cdot2 = 4\).
\(b_4 = b_3q = 4\cdot2 = 8\)
\(8 > 4 > 2 > 1\)
\(b_4 > b_3 > b_2 > b_1\).
б) \((b_n)\) - геометрическая прогрессия,
\(b_1>0\) и \(0 < q < 1\).
Доказать: \(b_{n+1} < b_n\)
Доказательство:
\(q-1<0,\) \(0 < q^{n-1} < 1\).
\(b_n = b_1q^{n-1} >0\),
\(b_{n+1}-b_n=b_n(q-1)<0\)
\[b_{n+1}=b_n q\]
\(=b_n(q-1)<0\), так как
\(b_n > 0\) и \(q - 1 < 0\), значит,
\(b_{n+1} < b_n\)
Пример:
Пусть \(b_1 = 1\), \(q = 0,5\), тогда
\(b_2 = b_1q = 1\cdot0,5 = 0,5\).
\(b_3 = b_2q = 0,5\cdot0,5 = 0,25\).
\(b_4 = b_3q = 0,25\cdot0,5 = 0,125\).
\(0,125 < 0,25 < 0,5 < 1\)
\(b_4 < b_3 < b_2 < b_1\).
в) \((b_n)\) - геометрическая прогрессия,
\(b_1<0,\ q>1\).
Доказать: \(b_{n+1} < b_n\)
Доказательство:
\(q^{n-1}>1\), \(q - 1 > 0\)
\(b_n = b_1q^{n-1} < 0\),
\[b_{n+1}=b_n q\]
\(=b_n(q-1)<0\), так как
\(b_n < 0\) и \(q - 1 > 0\), значит,
\(b_{n+1} < b_n\)
Пример:
Пусть \(b_1 = -1\), \(q = 2\), тогда
\(b_2 = b_1q = -1\cdot2 = -2\).
\(b_3 = b_2q = -2\cdot2 = -4\).
\(b_4 = b_3q = -4\cdot2 = -8\).
\(-8 < -4 < -2 < - 1\)
\(b_4 < b_3 < b_2 < b_1\).
г) \((b_n)\) - геометрическая прогрессия,
\(b_1 < 0\) и \(0 < q < 1\).
Доказать: \(b_{n+1}>b_n\).
Доказательство:
\(q-1<0,\) \(0 < q^{n-1} < 1\).
\(b_n = b_1q^{n-1} < 0\),
\[b_{n+1}=b_n q\]
\(b_{n+1}-b_n=b_nq - b_n =\)
\(=b_n(q-1)>0\), так как
\(b_n < 0\) и \(q - 1 < 0\), значит,
\(b_{n+1}>b_n\).
Пример:
Пусть \(b_1 = -1\), \(q = 0,5\), тогда
\(b_2 = b_1q = -1\cdot0,5 = -0,5\).
\(b_3 = b_2q = -0,5\cdot0,5 = -0,25\).
\(b_4 = b_3q = -0,25\cdot0,5 = -0,125\).
\(-0,125 > -0,25 > -0,5 > -1\)
\(b_4 > b_3 > b_2 > b_1\).
Пояснения:
Используемые правила и формулы:
1) Геометрическая прогрессия задаётся формулой
\[b_{n+1}=b_n\cdot q.\]
2) Для сравнения соседних членов удобно рассматривать разность
\[b_{n+1}-b_n=b_n(q-1).\]
Анализ знака разности.
Знак разности \(b_{n+1}-b_n\) определяется знаками \(b_n\) и \(q-1\). В зависимости от их сочетания получаем возрастание или убывание прогрессии.
Если разность \(b_{n+1}-b_n\) положительна, то \(b_{n+1} > b_n\), а если разность отрицательна, то \(b_{n+1} < b_n\).
Вернуться к содержанию учебника