Вернуться к содержанию учебника
Сократите дробь:
а) \(\dfrac{21a^3-6a^2b}{12ab-42a^2}\);
б) \(\dfrac{6m^3+3mn^2}{2m^3n+mn^3}\);
в) \(\dfrac{x^2-2mx+3x-6m}{x^2+2mx+3x+6m}\);
г) \(\dfrac{8ab+2a-20b-5}{4ab-8b^2+a-2b}\);
д) \(\dfrac{16a^2-8ab+b^2}{16a^2-b^2}\);
е) \(\dfrac{9x^2-25y^2}{9x^2+30xy+25y^2}\);
ж) \(\dfrac{a^2-3a}{a^2+3a-18}\);
з) \(\dfrac{4x^2-8x+3}{4x^2-1}\);
и) \(\dfrac{m^2+4m-5}{m^2+7m+10}\).
Введите текст
а)
\(\dfrac{21a^3-6a^2b}{12ab-42a^2}=\dfrac{3a^2(7a-2b)}{6a(2b-7a)}=\dfrac{3a^2(-(2b-7a))}{6a(2b-7a)}=\dfrac{-3a^2}{6a}=-\dfrac{a}{2}\)
б)
\(\dfrac{6m^3+3mn^2}{2m^3n+mn^3}=\dfrac{3m(2m^2+n^2)}{mn(2m^2+n^2)}=\dfrac{3}{n}\)
в)
\(\dfrac{x^2-2mx+3x-6m}{x^2+2mx+3x+6m}=\dfrac{x(x-2m)+3(x-2m)}{x(x+2m)+3(x+2m)}=\dfrac{(x+3)(x-2m)}{(x+3)(x+2m)}=\dfrac{x-2m}{x+2m}\)
г)
\(\dfrac{8ab+2a-20b-5}{4ab-8b^2+a-2b}=\dfrac{2a(4b+1)-5(4b+1)}{4b(a-2b)+1(a-2b)}=\dfrac{(4b+1)(2a-5)}{(4b+1)(a-2b)}=\dfrac{2a-5}{a-2b}\)
д)
\(\dfrac{16a^2-8ab+b^2}{16a^2-b^2}=\dfrac{(4a-b)^2}{(4a-b)(4a+b)}=\dfrac{4a-b}{4a+b}\)
е)
\(\dfrac{9x^2-25y^2}{9x^2+30xy+25y^2}=\dfrac{(3x-5y)(3x+5y)}{(3x+5y)^2}=\dfrac{3x-5y}{3x+5y}\)
ж)
\(\dfrac{a^2-3a}{a^2+3a-18}=\dfrac{a(a-3)}{(a+6)(a-3)}=\dfrac{a}{a+6}\)
з)
\(\dfrac{4x^2-8x+3}{4x^2-1}=\dfrac{(2x-1)(2x-3)}{(2x-1)(2x+1)}=\dfrac{2x-3}{2x+1}\)
и)
\(\dfrac{m^2+4m-5}{m^2+7m+10}=\dfrac{(m+5)(m-1)}{(m+5)(m+2)}=\dfrac{m-1}{m+2}\)
Пояснения:
Используемые правила и формулы
1) Вынесение общего множителя:
\(uv+uw=u(v+w)\)
2) Группировка:
\(uv+uw+sv+sw=(u+s)(v+w)\)
3) Разность квадратов:
\(u^2-v^2=(u-v)(u+v)\)
4) Квадрат двучлена:
\((u+v)^2=u^2+2uv+v^2\)
5) Разложение квадратного трёхчлена (подбор множителей):
\(Ax^2+Bx+C=(px+q)(rx+s)\)
Как сокращают дроби
Нужно разложить числитель и знаменатель на множители и сократить общие множители (сокращать можно только множители, а не слагаемые).
а)
В числителе вынесен общий множитель \(3a^2\), в знаменателе — \(6a\).
Далее использовано, что \(7a-2b=-(2b-7a)\), поэтому общий множитель \((2b-7a)\) сокращается.
б)
В числителе вынесен \(3m\), в знаменателе вынесен \(mn\).
После сокращения \(m\) получаем \(\dfrac{3(2m^2+t^2)}{n(2m^2+n^2)}\).
в)
Числитель и знаменатель разложены группировкой:
\(x^2-2mx+3x-6m=x(x-2m)+3(x-2m)=(x+3)(x-2m)\),
\(x^2+2mx+3x+6m=x(x+2m)+3(x+2m)=(x+3)(x+2m)\).
Общий множитель \((x+3)\) сокращается.
г)
Числитель разложен группировкой: \(8ab+2a-20b-5=(4b+1)(2a-5)\).
Знаменатель разложен группировкой: \(4ab-8b^2+a-2b=(4b+1)(a-2b)\).
Далее сокращён общий множитель \((4b+1)\).
д)
Числитель — квадрат двучлена:
\(16a^2-8ab+b^2=(4a-b)^2\).
Знаменатель — разность квадратов:
\(16a^2-b^2=(4a-b)(4a+b)\).
Сокращаем \((4a-b)\).
е)
Числитель — разность квадратов:
\(9x^2-25y^2=(3x-5y)(3x+5y)\).
Знаменатель — квадрат суммы:
\(9x^2+30xy+25y^2=(3x+5y)^2\).
Сокращаем \((3x+5y)\).
ж)
Числитель: \(a^2-3a=a(a-3)\).
Знаменатель: \(a^2+3a-18=(a+6)(a-3)\) (подбор чисел с произведением \(-18\) и суммой \(3\)).
Сокращаем \((a-3)\).
з)
Числитель разложен на множители:
\(4x^2-8x+3=(2x-1)(2x-3)\).
Знаменатель — разность квадратов:
\(4x^2-1=(2x-1)(2x+1)\).
Сокращаем \((2x-1)\).
и)
Числитель: \(m^2+4m-5=(m+5)(m-1)\).
Знаменатель: \(m^2+7m+10=(m+5)(m+2)\).
Сокращаем \((m+5)\).
Вернуться к содержанию учебника