Вернуться к содержанию учебника
а) Найдите значение выражения \(a^2+b^2\), если \(a+b=6\), \(ab=3\).
б) Найдите значение выражения \(c^2+\dfrac{1}{c^2}\), если \(c+\dfrac{1}{c}=2{,}5\).
Введите текст
а) \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)
\(6^2=a^2+2\cdot3+b^2\)
\(36=a^2+6+b^2\)
\(a^2+b^2=36-6=30\).
б) \(\left(c+\dfrac{1}{c}\right)^2=c^2+2+\dfrac{1}{c^2}\)
\(2{,}5^2=c^2+2+\dfrac{1}{c^2}\)
\(6{,}25=c^2+2+\dfrac{1}{c^2}\)
\(c^2+\dfrac{1}{c^2}=6{,}25-2=4{,}25\).
Пояснения:
Используемые формулы:
\[(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\]
\[\left(c+\dfrac{1}{c}\right)^2=c^2+2\cdot c\cdot\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{c^2}=c^2+2+\dfrac{1}{c^2}\]
а)
Чтобы найти сумму квадратов \(a^2+b^2\), используем формулу квадрата суммы.
Подставляем известные значения \(a+b=6\) и \(ab=3\).
Сначала возводим сумму в квадрат: \(6^2=36\).
По формуле получаем:
\[36=a^2+2ab+b^2.\]
Так как \(ab=3\), то \(2ab=6\). Переносим это число в левую часть:
\[a^2+b^2=36-6=30.\]
б)
Аналогично используем формулу квадрата суммы для выражения \(c+\dfrac{1}{c}\).
Сначала возводим число \(2{,}5\) в квадрат:
\[2{,}5^2=6{,}25.\]
По формуле получаем:
\[6{,}25=c^2+2+\dfrac{1}{c^2}.\]
Так как произведение \(c\cdot\dfrac{1}{c}=1\), то средний член равен \(2\).
Вычитаем 2:
\[c^2+\dfrac{1}{c^2}=6{,}25-2=4{,}25.\]
Вернуться к содержанию учебника