Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№712 учебника 2023-2026 (стр. 193):
а) Найдите значение выражения \(a^2+b^2\), если \(a+b=6\), \(ab=3\).
б) Найдите значение выражения \(c^2+\dfrac{1}{c^2}\), если \(c+\dfrac{1}{c}=2{,}5\).
№712 учебника 2014-2022 (стр. 181):
Геометрическая прогрессия состоит из пятнадцати членов. Сумма первых пяти членов равна \(\dfrac{11}{64}\), а сумма следующих пяти членов равна \(-5\dfrac{1}{2}\). Найдите сумму последних пяти членов этой прогрессии.
№712 учебника 2023-2026 (стр. 193):
№712 учебника 2014-2022 (стр. 181):
Вспомните:
№712 учебника 2023-2026 (стр. 193):
а) \(a+b=6\), \(ab=3\).
\(a^2+b^2=a^2+2ab+b^2-2ab=\)
\(=(a+b)^2-2ab=6^2-2\cdot3=\)
\(=36-6=30.\)
Ответ: \(a^2+b^2=30.\)
б) \(c+\dfrac{1}{c}=2{,}5\).
\(c^2+\dfrac{1}{c^2}=c^2+2c\cdot\frac {1}{c}+\dfrac{1}{c^2}-2c\cdot\frac {1}{c}=\)
\(=\left(c+\dfrac{1}{c}\right)^2-2=2,5^2-2=\)
\(=6,25-2=4{,}25.\)
Ответ: \(c^2+\dfrac{1}{c^2}=4,25.\)
Пояснения:
Используемые формулы:
Квадрат суммы двух выражений:
\[(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\]
а) Чтобы найти сумму квадратов \(a^2+b^2\), используем формулу квадрата суммы, для этого прибавляем и вычитаем \(2ab\) из данной суммы, затем "сворачиваем" трехчлен в квадрат суммы. Подставляем известные значения \(a+b=6\) и \(ab=3\) и выполняем вычисления.
б) Аналогично используем формулу квадрата суммы для выражения \(c+\dfrac{1}{c}\).
№712 учебника 2014-2022 (стр. 181):
\(n = 15\)
\[S_5=\frac{11}{64}\]
\[S_{6-10}=-5\dfrac{1}{2}=-\frac{11}{2}\]
\(S_{11-15} - ?\)
\(S_{10}=S_5 + S_{6-10}\)
\(S_{10}=\frac{11}{64}+\left(-\frac{11}{2} ^{\color{blue}{\backslash32}} \right)=\)
\(=\frac{11}{64}-\frac{352}{64}=-\frac{341}{64}.\)
\(S_n=\dfrac{x_1(q^n - 1)}{q-1}\)
\(S_5=\frac{x_1(q^5-1)}{q-1},\)
\(S_{10}=\frac{x_1(q^{10}-1)}{q-1}\)
\[\frac{S_{10}}{S_5}=\dfrac{\dfrac{x_1(q^{10}-1)}{q-1}}{\dfrac{x_1(q^{5}-1)}{q-1}}\]
\[\frac{S_{10}}{S_5}=\frac{q^{10}-1}{q^5-1}\]
\[\frac{-\frac{341}{64}}{\frac{11}{64}}=\frac{q^{10}-1}{q^5-1}\]
\[\frac{q^{10}-1}{q^5-1}=-31\]
\[\frac{(q^{5})^2-1}{q^5-1}=-31\]
\[\frac{\cancel{(q^5-1)}(q^5+1)}{\cancel{q^5-1}}=-31\]
\[q^5+1=-31\]
\[q^5=-31-1\]
\[q^5=-32\]
\[q^5=(-2)^5\]
\[q=-2\]
\(S_5=\frac{x_1((-2)^5-1)}{-2-1}\)
\(S_5=\frac{x_1(-32-1)}{-3}\)
\(S_5=\frac{-33x_1}{-3}\)
\(S_5=11x_1\)
\(11x_1 = \frac{11}{64}\)
\(x_1 = \frac{11}{64} : 11\)
\(x_1 = \frac{1}{64} \)
\(S_{11-15}=S_{15} - S_{10}=\)
\(=\dfrac{x_1(q^{15} - 1)}{q-1}-\dfrac{x_1(q^{10} - 1)}{q-1}=\)
\(=\dfrac{x_1}{q-1}((q^{15} - 1) - (q^{10} - 1))=\)
\(=\dfrac{x_1}{q-1}(q^{15} - 1 - q^{10} + 1)=\)
\(=\dfrac{x_1}{q-1}(q^{15} - q^{10})=\)
\(=\dfrac{x_1q^{10}}{q-1}(q^{5} - 1)=\)
\(=\dfrac{\dfrac{1}{64}\cdot(-2)^{10}}{-2-1}\cdot((-2)^{5} - 1)=\)
\(=\dfrac{\dfrac{1}{2^6}\cdot2^{10}}{-3}\cdot(-32 - 1)=\)
\(=\dfrac{2^{4}}{-3}\cdot(-33)=\dfrac{16}{\cancel3}\cdot\cancel{33} ^{\color{blue}{11}} =176\)
Ответ: \(S_{11-15}=176\).
Пояснения:
Основные формулы геометрической прогрессии:
\(S_n=\dfrac{x_1(q^n - 1)}{q-1} ,\quad (q\ne 1)\)
\[S_{m+k}-S_m=\text{сумма следующих } k \text{ членов}\]
\[1-q^{2k}=(1-q^k)(1+q^k)\]
Сначала найдём сумму первых десяти членов. По условию сумма со 6-го по 10-й член равна \(-5\dfrac{1}{2}\), то есть \(-\dfrac{11}{2}\). Поэтому:
\[S_{10}=S_5+\left(-\frac{11}{2}\right)\]
Приводим к общему знаменателю и получаем \(S_{10}=-\dfrac{341}{64}\).
Далее используем формулу суммы и делим \(S_{10}\) на \(S_5\). Получаем отношение \(-31\). С другой стороны,
\[\frac{S_{10}}{S_5}=\frac{1-q^{10}}{1-q^5}\]
Раскладываем разность степеней:
\(1-q^{10}=(1-q^5)(1+q^5)\).
Тогда дробь упрощается до \(1+q^5\).
Получаем уравнение \(1+q^5=-31\), откуда \(q^5=-32\), значит \(q=-2\).
Подставляя \(q=-2\) в формулу суммы первых пяти членов, находим первый член: \(x_1=\dfrac{1}{64}\).
Чтобы найти сумму последних пяти членов (с 11-го по 15-й), вычисляем \(S_{15}-S_{10}\).
Вернуться к содержанию учебника