Вернуться к содержанию учебника
Упростите выражение:
а) \(\left(\dfrac{7(m-2)}{m^3-8}-\dfrac{m+2}{m^2+2m+4}\right)\cdot\dfrac{2m^2+4m+8}{m-3}\);
б) \(\dfrac{a+5}{a^2-9}:\left(\dfrac{a+2}{a^2-3a+9}-\dfrac{2(a+8)}{a^3+27}\right)\);
в) \(\left(\dfrac{x+2}{3x}-\dfrac{2}{x-2}-\dfrac{x-14}{3x^2-6x}\right):\dfrac{x+2}{6x}\cdot\dfrac{1}{x-5}\);
г) \(\left(\dfrac{4x}{9-x^2}-\dfrac{x-3}{9+3x}\right)\cdot\dfrac{18}{x+3}-\dfrac{2x}{3-x}\).
Введите текст
а) \(\left(\dfrac{7(m-2)}{m^3-8}-\dfrac{m+2}{m^2+2m+4}\right)\cdot\dfrac{2m^2+4m+8}{m-3}=\left(\dfrac{7(m-2)}{(m-2)(m^2+2m+4)}-\dfrac{m+2}{m^2+2m+4}\right)\cdot\dfrac{2(m^2+2m+4)}{m-3}=\left(\dfrac{7-(m+2)}{m^2+2m+4}\right)\cdot\dfrac{2(m^2+2m+4)}{m-3}=\dfrac{2(5-m)}{m-3}=-\dfrac{2(m-5)}{m-3}\).
б) \(\dfrac{a+5}{a^2-9}:\left(\dfrac{a+2}{a^2-3a+9}-\dfrac{2(a+8)}{a^3+27}\right)=\dfrac{a+5}{(a-3)(a+3)}:\left(\dfrac{a+2}{a^2-3a+9}-\dfrac{2(a+8)}{(a+3)(a^2-3a+9)}\right)\)
\(=\dfrac{a+5}{(a-3)(a+3)}:\left(\dfrac{(a+2)(a+3)-2(a+8)}{(a+3)(a^2-3a+9)}\right)=\dfrac{a+5}{(a-3)(a+3)}:\left(\dfrac{a^2+5a+6-2a-16}{(a+3)(a^2-3a+9)}\right)\)
\(=\dfrac{a+5}{(a-3)(a+3)}:\left(\dfrac{a^2+3a-10}{(a+3)(a^2-3a+9)}\right)=\dfrac{a+5}{(a-3)(a+3)}:\left(\dfrac{(a+5)(a-2)}{(a+3)(a^2-3a+9)}\right)\)
\(=\dfrac{a+5}{(a-3)(a+3)}\cdot\dfrac{(a+3)(a^2-3a+9)}{(a+5)(a-2)}=\dfrac{a^2-3a+9}{(a-3)(a-2)}.\)
в) \(\left(\dfrac{x+2}{3x}-\dfrac{2}{x-2}-\dfrac{x-14}{3x^2-6x}\right):\dfrac{x+2}{6x}\cdot\dfrac{1}{x-5}=\left(\dfrac{x+2}{3x}-\dfrac{2}{x-2}-\dfrac{x-14}{3x(x-2)}\right):\dfrac{x+2}{6x}\cdot\dfrac{1}{x-5}\)
\(=\left(\dfrac{(x+2)(x-2)}{3x(x-2)}-\dfrac{6x}{3x(x-2)}-\dfrac{x-14}{3x(x-2)}\right):\dfrac{x+2}{6x}\cdot\dfrac{1}{x-5}\)
\(=\left(\dfrac{x^2-4-6x-x+14}{3x(x-2)}\right):\dfrac{x+2}{6x}\cdot\dfrac{1}{x-5}=\left(\dfrac{x^2-7x+10}{3x(x-2)}\right):\dfrac{x+2}{6x}\cdot\dfrac{1}{x-5}\)
\(=\left(\dfrac{(x-5)(x-2)}{3x(x-2)}\right)\cdot\dfrac{6x}{x+2}\cdot\dfrac{1}{x-5}=\dfrac{x-5}{3x}\cdot\dfrac{6x}{x+2}\cdot\dfrac{1}{x-5}=\dfrac{2}{x+2}.\)
г) \(\left(\dfrac{4x}{9-x^2}-\dfrac{x-3}{9+3x}\right)\cdot\dfrac{18}{x+3}-\dfrac{2x}{3-x}=\left(\dfrac{4x}{(3-x)(x+3)}-\dfrac{x-3}{3(x+3)}\right)\cdot\dfrac{18}{x+3}-\dfrac{2x}{3-x}\)
\(=\left(\dfrac{4x}{(3-x)(x+3)}+\dfrac{3-x}{3(x+3)}\right)\cdot\dfrac{18}{x+3}-\dfrac{2x}{3-x}\)
\(=\left(\dfrac{12x+(3-x)^2}{3(3-x)(x+3)}\right)\cdot\dfrac{18}{x+3}-\dfrac{2x}{3-x}=\left(\dfrac{12x+x^2-6x+9}{3(3-x)(x+3)}\right)\cdot\dfrac{18}{x+3}-\dfrac{2x}{3-x}\)
\(=\left(\dfrac{x^2+6x+9}{3(3-x)(x+3)}\right)\cdot\dfrac{18}{x+3}=\left(\dfrac{(x+3)^2}{3(3-x)(x+3)}\right)\cdot\dfrac{18}{x+3}-\dfrac{2x}{3-x}\)
\(=\dfrac{x+3}{3(3-x)}\cdot\dfrac{18}{x+3}-\dfrac{2x}{3-x}=\dfrac{6}{3-x}-\dfrac{2x}{3-x}=\dfrac{6-2x}{3-x}=\dfrac{2(3-x)}{3-x}=2.\)
Пояснения:
Используемые формулы и приёмы:
\[a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\]
\[a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\]
\[a^2-b^2=(a-b)(a+b)\]
\[(a-b)^2=a^2-2ab+b^2\]
\[a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\]
Деление на дробь заменяем умножением на обратную дробь.
При упрощении выражений разлагаем многочлены на множители, приводим к общему знаменателю и сокращаем общие множители числителя и знаменателя.
а)
Раскладываем разность кубов:
\[m^3-8=m^3-2^3=(m-2)(m^2+2m+4).\]
Тогда первая дробь в скобках сокращается по множителю \((m-2)\), и обе дроби в скобках получают общий знаменатель \((m^2+2m+4)\).
Вторая большая дробь раскладывается так:
\[2m^2+4m+8=2(m^2+2m+4),\]
после чего общий множитель \((m^2+2m+4)\) сокращается, остаётся дробь \(-\dfrac{2(m-5)}{m-3}\).
б)
Разлагаем знаменатели:
\[a^2-9=(a-3)(a+3),\qquad a^3+27=a^3+3^3=(a+3)(a^2-3a+9).\]
Внутри скобок приводим к общему знаменателю \((a+3)(a^2-3a+9)\) и получаем числитель:
\[(a+2)(a+3)-2(a+8)=a^2+3a-10=(a+5)(a-2).\]
Далее деление первой дроби на выражение в скобках превращаем в умножение на обратную дробь и сокращаем \((a+5)\) и \((a+3)\). Итог:
\[\dfrac{a^2-3a+9}{(a-3)(a-2)}.\]
в)
Замечаем, что:
\[3x^2-6x=3x(x-2).\]
Приводим три дроби в первой скобке к общему знаменателю \(3x(x-2)\). После объединения числителей получается:
\[x^2-7x+10=(x-5)(x-2).\]
Сокращаем \((x-2)\) и получаем \(\dfrac{x-5}{3x}\). Затем деление на \(\dfrac{x+2}{6x}\) заменяем умножением на \(\dfrac{6x}{x+2}\), и множитель \((x-5)\) сокращается с \(\dfrac{1}{x-5}\). Итог:
\[\dfrac{2}{x+2}.\]
г)
Разность квадратов:
\[9-x^2=(3-x)(3+x)=(3-x)(x+3).\]
Также:
\[9+3x=3(x+3),\qquad x-3=-(3-x).\]
После приведения к общему знаменателю внутри скобок получается числитель:
\[12x+(3-x)^2=x^2+6x+9=(x+3)^2.\]
Это позволяет сократить \((x+3)\), затем при умножении на \(\dfrac{18}{x+3}\) снова сокращается \((x+3)\), и остаётся \(\dfrac{6}{3-x}\).
Последний шаг — вычитание дробей с одинаковым знаменателем \((3-x)\):
\[\dfrac{6}{3-x}-\dfrac{2x}{3-x}=\dfrac{6-2x}{3-x}=\dfrac{2(3-x)}{3-x}=2.\]
Вернуться к содержанию учебника