Упражнение 710 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\small \left(\dfrac{7(m-2)}{m^3-8}\overset{\color{red}1}{-}\dfrac{m+2}{m^2+2m+4}\right)\overset{\color{red}2}\times\)

\(\small \overset{\color{red}2}\times\dfrac{2m^2+4m+8}{m-3}=\dfrac{10-2m}{m-3}\);

1) \(\small \dfrac{7(m-2)}{m^3-8}-\dfrac{m+2}{m^2+2m+4}=\)

\(\small =\dfrac{7\cancel{(m-2)}}{\cancel{(m-2)}(m^2+2m+4)}-\)

\(\small -\dfrac{m+2}{m^2+2m+4}=\)

\(\small =\dfrac{7}{m^2+2m+4}-\dfrac{m+2}{m^2+2m+4}=\)

\(\small =\dfrac{7-m-2}{m^2+2m+4}=\dfrac{5-m}{m^2+2m+4.}\)

2) \(\small \dfrac{5-m}{m^2+2m+4}\cdot\dfrac{2m^2+4m+8}{m-3}=\)

\(\small =\dfrac{5-m}{m^2+2m+4}\cdot\dfrac{2(m^2+2m+4)}{m-3}=\)

\(\small =\dfrac{(5-m)\cdot2\cancel{(m^2+2m+4)}}{\cancel{(m^2+2m+4)}\cdot(m-3)}=\)

\(=\dfrac{2(5-m)}{m-3}=\dfrac{10-2m}{m-3}\).

б) \(\small \dfrac{a+5}{a^2-9}\overset{\color{red}2}{:}\left(\dfrac{a+2}{a^2-3a+9}\overset{\color{red}1}{-}\dfrac{2(a+8)}{a^3+27}\right)=\)

\(=\dfrac{a^2-3a+9}{a^2-5a+6}\);

1) \(\small \dfrac{a+2}{a^2-3a+9}-\dfrac{2(a+8)}{a^3+27}=\)

\(\small =\dfrac{a+2}{a^2-3a+9}^{\color{red}{\backslash{(a+3)}}}-\)

\(\small-\dfrac{2(a+8)}{(a+3)(a^2-3a+9)}=\)

\(\small =\dfrac{(a+2)(a+3)}{(a+3)(a^2-3a+9)}-\)

\(\small -\dfrac{2(a+8)}{(a+3)(a^2-3a+9)}=\)

\(\small=\dfrac{(a+2)(a+3)-2(a+8)}{(a+3)(a^2-3a+9)}=\)

\(\small=\dfrac{a^2+2a+3a+6-2a-16}{(a+3)(a^2-3a+9)}=\)

\(\small =\dfrac{a^2+3a-10}{(a+3)(a^2-3a+9)}=\)

2) \(\small \dfrac{a+5}{a^2-9}:\dfrac{a^2+3a-10}{(a+3)(a^2-3a+9)}=\)

\(\small=\dfrac{a+5}{a^2-9}\cdot\dfrac{(a+3)(a^2-3a+9)}{a^2+3a-10}=\)

\(\small =\dfrac{(a+5)\cdot\cancel{(a+3)}(a^2-3a+9)}{(a-3)\cancel{(a+3)}\cdot(a^2+3a-10)}=\)

\(\small =\dfrac{(a+5)(a^2-3a+9)}{(a-3)(a^2+3a-10)}=\)

\(\small =\dfrac{\cancel{(a+5)}(a^2-3a+9)}{(a-3)(a-2)\cancel{(a+5)}}=\)

\(\small =\dfrac{a^2-3a+9}{(a-3)(a-2)}=\dfrac{a^2-3a+9}{a^2-3a-2a+6}=\)

\(\small =\dfrac{a^2-3a+9}{a^2-5a+6}.\)

\(a^2+3a-10=0\)

\(a'=1; b=3; c=-10.\)

\(D=b^2-4a'c=\)

\(=3^2-4\cdot1\cdot(-10)=49,\) \(\sqrt D = 7.\)

\(a_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt D}{2a'}\)

\(a_{1}=\frac{-3+7}{2\cdot1}=\frac{4}{2}=2\)

\(a_{1}=\frac{-3-7}{2\cdot1}=-\frac{10}{2}=-5.\)

\(a^2+3a-10=(a-2)(a+5).\)

в) \(\small \left(\dfrac{x+2}{3x}-\dfrac{2}{x-2}-\dfrac{x-14}{3x^2-6x}\right):\)

\(\small :\dfrac{x+2}{6x}\cdot\dfrac{1}{x-5}=\)

\(\small =\left(\dfrac{x+2}{3x}^{\color{red}{\backslash{(x-2)}}}-\dfrac{2}{x-2}^{\color{red}{\backslash{3x}}}-\dfrac{x-14}{3x(x-2)}\right)\times\)

\(\small\times\dfrac{6x}{x+2}\cdot\dfrac{1}{x-5}=\)

\(\small =\left(\dfrac{(x+2)(x-2)}{3x(x-2)}-\dfrac{6x}{3x(x-2)}-\dfrac{x-14}{3x(x-2)}\right)\times\)

\(\small\times\dfrac{6x}{x+2}\cdot\dfrac{1}{x-5}=\)

\(\small =\left(\dfrac{x^2-4-6x-x+14}{3x(x-2)}\right)\times\)

\(\small\times\dfrac{6x}{x+2}\cdot\dfrac{1}{x-5}=\)

\(\small =\dfrac{x^2-7x+10}{3x(x-2)}\cdot\dfrac{6x}{x+2}\cdot\dfrac{1}{x-5}=\)

\(\small =\dfrac{\cancel{(x-5)}\cancel{(x-2)}\cdot{\cancel{6x}}^{\color{red}2}}{\cancel{3x}\cancel{(x-2)}\cdot(x+2)\cdot\cancel{(x-5)}}=\)

\(\small=\dfrac{2}{x+2}.\)

\(x^2-7x+10=0\)

\(a=1; b=-7; c=10.\)

\(D=b^2-4ac=\)

\(=(-7)^2-4\cdot1\cdot10=9,\) \(\sqrt D = 3.\)

\(x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt D}{2a}\)

\(x_{1}=\frac{7+3}{2\cdot1}=\frac{10}{2}=5\)

\(x_{2}=\frac{7-3}{2\cdot1}=\frac{4}{2}=2.\)

\(x^2-7x+10=(x-5)(x-2)\)

г) \(\small\left(\dfrac{4x}{9-x^2}\overset{\color{red}1}{-}\dfrac{x-3}{9+3x}\right)\overset{\color{red}2}{\cdot}\dfrac{18}{x+3}\overset{\color{red}3}{-}\dfrac{2x}{3-x}=2\)

1)  \(\small \dfrac{4x}{9-x^2}-\dfrac{x-3}{9+3x} =\)

\(\small= \dfrac{4x}{9-x^2}+\dfrac{3-x}{9+3x} =\)

\(\small =\dfrac{4x}{(3-x)(3+x)}^{\color{red}{\backslash{3}}}+\dfrac{3-x}{3(x+3)}^{\color{red}{\backslash{(3-x)}}}=\)

\(\small =\dfrac{12x}{3(3-x)(3+x)}+\dfrac{(3-x)^2}{3(3-x)(3+x)}=\)

\(\small =\dfrac{12x+9-6x+x^2}{3(3-x)(3+x)}=\)

\(\small =\dfrac{9+6x+x^2}{3(3-x)(3+x)}=\)

\(\small =\dfrac{(3+x)^{\cancel{2}}}{3(3-x)\cancel{(3+x)}}=\dfrac{(3+x)}{3(3-x)}.\)

2) \(\small \dfrac{(3+x)}{3(3-x)}\cdot \dfrac{18}{x+3}=\)

\(\small =\dfrac{\cancel{(3+x)}\cdot\cancel{18}^{\color{red}6}}{\cancel{3}(3-x)\cdot\cancel{(x+3)}}=\frac{6}{3-x}.\)

3) \(\small \frac{6}{3-x}-\dfrac{2x}{3-x}=\)

\(\small= \frac{6-2x}{3-x}=\frac{2(3-x)}{3-x}=2.\)

Пояснения:

Используемые формулы и приёмы:

1) Разность кубов двух выражений:

\[a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\]

2) Сумма кубов двух выражений:

\[a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\]

3) Разность квадратов двух выражений:

\[a^2-b^2=(a-b)(a+b)\]

4) Квадрат разности двух выражений:

\[(a-b)^2=a^2-2ab+b^2\]

5) Квадрат суммы двух выражений:

\[(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\]

5) Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями:

\(\dfrac{p}{m}\pm\dfrac{q}{n}=\dfrac{pn\pm qm}{mn}\)

6) Деление дробей:

\(\dfrac{A}{B}:\dfrac{C}{D}=\dfrac{A}{B}\cdot\dfrac{D}{C}\)

7) При умножении дробей перемножают числители и знаменатели:

\(\frac{A}{B}\cdot\frac{C}{D}=\frac{A\cdot C}{B\cdot D}.\)

После умножения выполняют сокращение общих множителей в числителе и знаменателе, если это возможно.

8) При упрощении выражений раскладываем многочлены на множители, приводим к общему знаменателю и сокращаем общие множители числителя и знаменателя.

а) \((x_n)\) - геометрическая прогрессия.

\(q=-\dfrac{1}{3},\ n=5,\ S_n=20\dfrac{1}{3},\)

\(x_1 - ?\) и \(x_n - ?\)

\(S_n=\dfrac{x_1(q^n - 1)}{q-1}\)

\[S_5=\frac{x_1(q^5-1)}{q-1}\]

\(20\dfrac{1}{3}= \frac{x_1\cdot\left(\left(-\dfrac{1}{3}\right)^5-1\right)}{-\dfrac{1}{3}-1}\)

\(\dfrac{61}{3}= \frac{x_1\cdot\left(-\dfrac{1}{243}-1\right)}{-1\dfrac{1}{3}}\)

\(\dfrac{61}{3}= \frac{x_1\cdot\left(-1\dfrac{1}{243}\right)}{-1\dfrac{1}{3}}\)

\(\dfrac{61}{3}= \frac{x_1\cdot\dfrac{244}{243}}{\dfrac{4}{3}}\)

\(\dfrac{61}{3}= x_1\cdot\dfrac{ ^{\color{blue}{61}}\cancel{244}}{_{\color{blue}{81}} \cancel{243}}\cdot\dfrac{\cancel3}{\cancel4}\)

\(\dfrac{61}{3}= x_1\cdot\dfrac{61}{81}\)

\(x_1 = \dfrac{61}{3} : \dfrac{61}{81}\)

\(x_1 = \dfrac{\cancel{61}}{\cancel3} \cdot \dfrac{\cancel{81}  ^{\color{blue}{27}} }{\cancel{61}}\)

\(x_1 = 27\)

\(x_5=x_1q^{4}=27\cdot\left(-\dfrac{1}{3}\right)^4=\)

\(=\cancel{27}\cdot \dfrac{1}{\cancel{81}_{\color{blue}{3}} }=\dfrac{1}{3}\).

Ответ: \(x_1 = 27\), \(x_5=\dfrac{1}{3}\).

б) \((x_n)\) - геометрическая прогрессия.

\(x_1=11,\ x_n=88,\ S_n=165,\)

\(q - ?\) и \(n - ?\)

\(S_n = \dfrac{x_nq - x_1}{q -1}\)

\(165 = \dfrac{88q - 11}{q - 1}\)   \(/\times(q -1)\)

\(165(q-1) = 88q - 11\)

\(165q - 165 = 88q - 11\)

\(165q - 88q = 165 - 11\)

\(77q = 154\)

\(q = \frac{154}{77}\)

\(q = 2\)

\[x_n=x_1q^{n-1}\]

\[88=112^{n-1}\]

\(2^{n-1}=8\)

\(2^{n-1}=2^3\)

\(n - 1 = 3\)

\(n = 3 + 1\)

\(n = 4\)

Ответ: \(q = 2\), \(n = 4\).

в) \((x_n)\) - геометрическая прогрессия.

\(x_1=\dfrac{1}{2},\ q=-\dfrac{1}{2},\ S_n=\dfrac{21}{64},\)

\(n - ?\) и \(x_n - ?\)

\(S_n=\dfrac{x_1(q^n - 1)}{q-1}\)

\(\dfrac{21}{64}= \frac{\dfrac{1}{2}\cdot\left(1-\left(-\dfrac{1}{2}\right)^n\right)}{1-\left(-\dfrac{1}{2}\right)}\)

\(\dfrac{21}{64}= \frac{\dfrac{1}{2}\cdot\left(1-\left(-\dfrac{1}{2}\right)^n\right)}{1+\dfrac{1}{2}}\)

\(\dfrac{21}{64}= \frac{\dfrac{1}{2}\cdot\left(1-\left(-\dfrac{1}{2}\right)^n\right)}{\dfrac{3}{2}}\)

\(\dfrac{21}{64}= \dfrac{1}{\cancel2}\cdot\left(1-\left(-\dfrac{1}{2}\right)^n\right)\cdot\dfrac{\cancel2}{3}\)

\(\dfrac{21}{64}= \dfrac{1}{3}\cdot\left(1-\left(-\dfrac{1}{2}\right)^n\right)\)

\(1-\left(-\dfrac{1}{2}\right)^n = \dfrac{21}{64} : \dfrac{1}{3}\)

\(1-\left(-\dfrac{1}{2}\right)^n = \dfrac{21}{64} \cdot 3\)

\(1-\left(-\dfrac{1}{2}\right)^n = \dfrac{63}{64}\)

\(\left(-\dfrac{1}{2}\right)^n =1 - \dfrac{63}{64}\)

\(\left(-\dfrac{1}{2}\right)^n =\dfrac{1}{64}\)

\(\left(-\dfrac{1}{2}\right)^n =\left(-\dfrac{1}{2}\right)^6\)

\(n = 6\)

\(x_6=x_1q^{5}=\dfrac{1}{2}\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)^5=\)

\(=\dfrac{1}{2}\cdot \left(-\dfrac{1}{32}\right)=-\dfrac{1}{64}\)

Ответ: \(n = 6\), \(x_6 = -\dfrac{1}{64}\).

г) \((x_n)\) - геометрическая прогрессия.

\(q=\sqrt{3},\ x_n=18\sqrt{3},\)

\(S_n=26\sqrt{3}+24,\)

\(x_1 - ?\) и \(n - ?\)

\(S_n = \dfrac{x_nq - x_1}{q -1}\)

\(26\sqrt{3}+24 = \dfrac{18\sqrt{3}\cdot\sqrt{3} - x_1}{\sqrt{3} -1}\)

\(26\sqrt{3}+24 = \dfrac{18\cdot3 - x_1}{\sqrt{3} -1}\)

\(26\sqrt{3}+24 = \dfrac{54 - x_1}{\sqrt{3} -1}\) \(/\times(\sqrt{3} -1)\)

\((26\sqrt{3}+24)(\sqrt{3} -1) = 54 - x_1\)

\(26\sqrt{3}\cdot\sqrt{3} - 26\sqrt{3} + 24\sqrt{3} - 24 = 54 - x_1\)

\(26\cdot3 - 2\sqrt{3} - 24 = 54 - x_1\)

\(78 - 2\sqrt{3} - 24 = 54 - x_1\)

\(54 - 2\sqrt{3} - 24 = 54 - x_1\)

\( x_1 = 54 - 54 + 2\sqrt{3}\)

\( x_1 = 2\sqrt{3}\)

\[x_n=x_1q^{n-1}\]

\(18\sqrt{3} = 2\sqrt{3} \cdot (\sqrt{3})^{n-1}\)

\(18\sqrt{3} = 2\sqrt{3} \cdot (\sqrt{3})^{n-1}\) \(/ : 2\sqrt{3}\)

\(9 = (\sqrt{3})^{n-1}\)

\( (\sqrt{3})^{4} = (\sqrt{3})^{n-1}\)

\(n - 1 = 4\)

\(n = 4 + 1\)

\(n = 5\)

Ответ: \( x_1 = 2\sqrt{3}\), \(n = 5\).

Пояснения:

Правила и формулы для геометрической прогрессии:

\[x_n=x_1q^{\,n-1};\]

\(S_n=\dfrac{x_1(q^n - 1)}{q-1};\)

\(S_n = \dfrac{x_nq - x_1}{q -1}\).

Свойства степени:

\(\left(\frac{a}{b}\right)^k=\frac{a^k}{b^k},\)

\(q^m\cdot q^k=q^{m+k}\).

Свойство корня:

\(\sqrt a \cdot \sqrt a = a\).