Упражнение 707 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 191

а)

\(\dfrac{2}{x^2-3x}-\dfrac{1}{x^2+3x}-\dfrac{x+1}{x^2-9}=\dfrac{2}{x(x-3)}-\dfrac{1}{x(x+3)}-\dfrac{x+1}{(x-3)(x+3)}\)

\(=\dfrac{2(x-3)(x+3)}{x(x-3)(x+3)}-\dfrac{1(x-3)(x+3)}{x(x-3)(x+3)}-\dfrac{x(x+1)}{x(x-3)(x+3)}\)

\(=\dfrac{2(x-3)(x+3)-(x-3)(x+3)-x(x+1)}{x(x-3)(x+3)}\)

\(=\dfrac{(x-3)(x+3)-x(x+1)}{x(x-3)(x+3)}\)

\(=\dfrac{(x^2-9)-(x^2+x)}{x(x-3)(x+3)}\)

\(=\dfrac{-x-9}{x(x-3)(x+3)}=\dfrac{-(x+3)(x+3)}{x(x-3)(x+3)}=-\dfrac{x+3}{x(x-3)}=-\dfrac{(x-3)(x+3)}{x(x-3)(x+3)}=-\dfrac{1}{x}\)

б)

\(\dfrac{2y+1}{y^2+3y}+\dfrac{y+2}{3y-y^2}-\dfrac{1}{y}=\dfrac{2y+1}{y(y+3)}+\dfrac{y+2}{y(3-y)}-\dfrac{1}{y}\)

\(=\dfrac{2y+1}{y(y+3)}-\dfrac{y+2}{y(y-3)}-\dfrac{1}{y}\)

\(=\dfrac{(2y+1)(y-3)-(y+2)(y+3)-(y+3)(y-3)}{y(y+3)(y-3)}\)

\(=\dfrac{(2y^2-5y-3)-(y^2+5y+6)-(y^2-9)}{y(y+3)(y-3)}\)

\(=\dfrac{-10y}{y(y+3)(y-3)}=-\dfrac{10}{(y+3)(y-3)}=-\dfrac{10}{y^2-9}\)

в)

\(\dfrac{a^2+16a+12}{a^3-8}-\dfrac{2-3a}{a^2+2a+4}-\dfrac{3}{a-2}=\dfrac{a^2+16a+12}{(a-2)(a^2+2a+4)}-\dfrac{2-3a}{a^2+2a+4}-\dfrac{3}{a-2}\)

\(=\dfrac{a^2+16a+12-(2-3a)(a-2)-3(a^2+2a+4)}{(a-2)(a^2+2a+4)}\)

\(=\dfrac{a^2+16a+12-(2a-4-3a^2+6a)-3a^2-6a-12}{(a-2)(a^2+2a+4)}\)

\(=\dfrac{a^2+16a+12+3a^2-8a+4-3a^2-6a-12}{(a-2)(a^2+2a+4)}\)

\(=\dfrac{a^2+2a+4}{(a-2)(a^2+2a+4)}=\dfrac{1}{a-2}\)

г)

\(\dfrac{2}{4b^2-6b+9}+\dfrac{4b^2+18}{8b^3+27}-\dfrac{1}{2b+3}=\dfrac{2}{4b^2-6b+9}+\dfrac{4b^2+18}{(2b+3)(4b^2-6b+9)}-\dfrac{1}{2b+3}\)

\(=\dfrac{2(2b+3)+(4b^2+18)-(4b^2-6b+9)}{(2b+3)(4b^2-6b+9)}\)

\(=\dfrac{(4b+6)+4b^2+18-4b^2+6b-9}{(2b+3)(4b^2-6b+9)}\)

\(=\dfrac{10b+15}{(2b+3)(4b^2-6b+9)}=\dfrac{5(2b+3)}{(2b+3)(4b^2-6b+9)}=\dfrac{5}{4b^2-6b+9}\)

Пояснения:

Правила и формулы

\(1)\) Разложение на множители:

\(x^2-3x=x(x-3)\), \(\;x^2+3x=x(x+3)\)

\(y^2+3y=y(y+3)\), \(\;3y-y^2=y(3-y)=-y(y-3)\)

\(2)\) Разность квадратов:

\(u^2-v^2=(u-v)(u+v)\)

\(3)\) Разность кубов:

\(u^3-v^3=(u-v)(u^2+uv+v^2)\)

\(4)\) Сумма кубов:

\(u^3+v^3=(u+v)(u^2-uv+v^2)\)

\(5)\) Приведение дробей к общему знаменателю:

\(\dfrac{p}{m}+\dfrac{q}{n}=\dfrac{pn+qm}{mn}\)

а) Что делалось

Знаменатели разложены: \(x^2-3x=x(x-3)\), \(x^2+3x=x(x+3)\), \(x^2-9=(x-3)(x+3)\).

Общий знаменатель: \(x(x-3)(x+3)\).

После приведения к общему знаменателю числитель упрощается до \(- (x-3)(x+3)\), и сокращение даёт \(-\dfrac{1}{x}\).

б) Что делалось

Знаменатели разложены: \(y^2+3y=y(y+3)\), \(3y-y^2=y(3-y)=-y(y-3)\).

Общий знаменатель: \(y(y+3)(y-3)\).

После сложения и вычитания получается \(-10y\) в числителе, затем сокращается \(y\): \(-\dfrac{10}{(y-3)(y+3)}\).

в) Что делалось

Разложение разности кубов:

\(a^3-8=a^3-2^3=(a-2)(a^2+2a+4)\).

Общий знаменатель: \((a-2)(a^2+2a+4)\).

Числитель после раскрытия скобок приводится к \(a^2+2a+4\), этот множитель сокращается, остаётся \(\dfrac{1}{a-2}\).

г) Что делалось

Разложение суммы кубов:

\(8b^3+27=(2b)^3+3^3=(2b+3)(4b^2-6b+9)\).

Общий знаменатель: \((2b+3)(4b^2-6b+9)\).

Числитель упрощается до \(5(2b+3)\), сокращение \((2b+3)\) даёт \(\dfrac{5}{4b^2-6b+9}\).