Упражнение 708 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 192

а) \(\dfrac{ab^2-16a}{5b^3}\cdot\dfrac{20b^5}{a^2b+4a^2}=\dfrac{a(b^2-16)}{5b^3}\cdot\dfrac{20b^5}{a^2(b+4)}=\dfrac{a(b-4)(b+4)}{5b^3}\cdot\dfrac{20b^5}{a^2(b+4)}=\dfrac{4b^2(b-4)}{a}\).

б) \(\dfrac{7xy}{x^2-4xy+4y^2}\cdot\dfrac{3x-6y}{14y^2}=\dfrac{7xy}{(x-2y)^2}\cdot\dfrac{3(x-2y)}{14y^2}=\dfrac{21xy(x-2y)}{14y^2(x-2y)^2}=\dfrac{3x}{2y(x-2y)}\).

в) \(\dfrac{p^3-125}{8p^2}\cdot\dfrac{4p}{p^2+5p+25}=\dfrac{(p-5)(p^2+5p+25)}{8p^2}\cdot\dfrac{4p}{p^2+5p+25}=\dfrac{4p(p-5)}{8p^2}=\dfrac{p-5}{2p}\).

г) \(\dfrac{9m^2-12mn+4n^2}{3m^3+24n^3}\cdot\dfrac{3m+6n}{2n-3m}=\dfrac{(3m-2n)^2}{3(m^3+8n^3)}\cdot\dfrac{3(m+2n)}{2n-3m}=\dfrac{(3m-2n)^2}{3(m+2n)(m^2-2mn+4n^2)}\cdot\dfrac{3(m+2n)}{-(3m-2n)}=\dfrac{2n-3m}{m^2-2mn+4n^2}\).

Пояснения:

Используемые формулы и приёмы:

\[a^2-b^2=(a-b)(a+b)\]

\[(a-b)^2=a^2-2ab+b^2\]

\[a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\]

\[a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\]

При умножении дробей перемножают числители и знаменатели, затем сокращают общие множители числителя и знаменателя.

а)

В числителе первой дроби выносим общий множитель \(a\): \(ab^2-16a=a(b^2-16)\).

Разность квадратов раскладываем по формуле: \(b^2-16=(b-4)(b+4)\).

Во знаменателе второй дроби выносим общий множитель \(a^2\): \(a^2b+4a^2=a^2(b+4)\).

После умножения дробей сокращаем общий множитель \((b+4)\), сокращаем числа \(20\) и \(5\), а также \(b^5\) с \(b^3\) и \(a\) с \(a^2\). Получаем одну дробь \(\dfrac{4b^2(b-4)}{a}\).

б)

Знаменатель первой дроби распознаём как полный квадрат: \(x^2-4xy+4y^2=(x-2y)^2\).

Числитель второй дроби раскладываем: \(3x-6y=3(x-2y)\).

После умножения появляется общий множитель \((x-2y)\) в числителе и знаменателе, сокращаем его на одну степень.

Также сокращаем \(21\) и \(14\) и \(y\) с \(y^2\). Итог: \(\dfrac{3x}{2y(x-2y)}\).

в)

Разность кубов раскладываем: \(p^3-125=p^3-5^3=(p-5)(p^2+5p+25)\).

Многочлен \((p^2+5p+25)\) сокращается с таким же множителем в знаменателе второй дроби.

Далее сокращаем \(4\) и \(8\), а также \(p\) с \(p^2\). Получаем \(\dfrac{p-5}{2p}\).

г)

Числитель первой дроби — квадрат двучлена: \(9m^2-12mn+4n^2=(3m-2n)^2\).

Знаменатель первой дроби: \(3m^3+24n^3=3(m^3+8n^3)=3(m^3+(2n)^3)\).

Сумму кубов раскладываем: \(m^3+(2n)^3=(m+2n)(m^2-2mn+4n^2)\).

Во второй дроби выносим общий множитель: \(3m+6n=3(m+2n)\), а \(2n-3m=-(3m-2n)\).

После умножения сокращаем множители \(3\) и \((m+2n)\), затем сокращаем одну скобку \((3m-2n)\); знак «минус» переносит числитель в вид \((2n-3m)\). Итог: \(\dfrac{2n-3m}{m^2-2mn+4n^2}\).