Упражнение 711 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 192

а)

\(\dfrac12+\left(\dfrac{3m}{1-3m}+\dfrac{2m}{3m+1}\right)\cdot\dfrac{9m^2-6m+1}{6m^2+10m}=\dfrac12+\left(-\dfrac{3m}{3m-1}+\dfrac{2m}{3m+1}\right)\cdot\dfrac{(3m-1)^2}{2m(3m+5)}\)

\(=\dfrac12+\dfrac{m\bigl(-3(3m+1)+2(3m-1)\bigr)}{(3m-1)(3m+1)}\cdot\dfrac{(3m-1)^2}{2m(3m+5)}\)

\(=\dfrac12+\dfrac{-3m-5}{(3m+1)}\cdot\dfrac{3m-1}{2(3m+5)}=\dfrac12-\dfrac{3m-1}{2(3m+1)}=\dfrac{1}{3m+1}\)

б)

\(\left(\dfrac1{x+y}-\dfrac{y^2}{xy^2-x^3}\right):\left(\dfrac{x-y}{x^2+xy}-\dfrac{x}{y^2+xy}\right)-\dfrac{x}{x+y}\)

\(=\left(\dfrac1{x+y}-\dfrac{y^2}{x(y^2-x^2)}\right):\left(\dfrac{x-y}{x(x+y)}-\dfrac{x}{y(x+y)}\right)-\dfrac{x}{x+y}\)

\(=\left(\dfrac1{x+y}+\dfrac{y^2}{x(x-y)(x+y)}\right):\left(\dfrac{y(x-y)-x^2}{xy(x+y)}\right)-\dfrac{x}{x+y}\)

\(=\left(\dfrac{x(x-y)+y^2}{x(x-y)(x+y)}\right)\cdot\left(\dfrac{xy(x+y)}{y(x-y)-x^2}\right)-\dfrac{x}{x+y}\)

\(=\dfrac{x^2-xy+y^2}{x(x-y)(x+y)}\cdot\dfrac{xy(x+y)}{-(x^2-xy+y^2)}-\dfrac{x}{x+y}\)

\(=-\dfrac{y}{x-y}-\dfrac{x}{x+y}=\dfrac{-y(x+y)-x(x-y)}{(x-y)(x+y)}=-\dfrac{x^2+y^2}{x^2-y^2}\)

в)

\(\dfrac{2a+3}{2a-3}\cdot\left(\dfrac{2a^2+3a}{4a^2+12a+9}-\dfrac{3a+2}{2a+3}\right)+\dfrac{4a-1}{2a-3}-\dfrac{a-1}{a}\)

\(=\dfrac{2a+3}{2a-3}\cdot\left(\dfrac{a(2a+3)}{(2a+3)^2}-\dfrac{3a+2}{2a+3}\right)+\dfrac{4a-1}{2a-3}-\dfrac{a-1}{a}\)

\(=\dfrac{2a+3}{2a-3}\cdot\left(\dfrac{a-(3a+2)}{2a+3}\right)+\dfrac{4a-1}{2a-3}-\dfrac{a-1}{a}\)

\(=\dfrac{2a+3}{2a-3}\cdot\left(\dfrac{-2(a+1)}{2a+3}\right)+\dfrac{4a-1}{2a-3}-\dfrac{a-1}{a}\)

\(=-\dfrac{2(a+1)}{2a-3}+\dfrac{4a-1}{2a-3}-\dfrac{a-1}{a}=\dfrac{2a-3}{2a-3}-\dfrac{a-1}{a}=1-\dfrac{a-1}{a}=\dfrac1a\)

г)

\(\left(\dfrac{a+3}{a^2+2a+1}+\dfrac{a-1}{a^2-2a-3}\right)\cdot\dfrac{a^2-2a-3}{a+2}-1\)

\(=\left(\dfrac{a+3}{(a+1)^2}+\dfrac{a-1}{(a-3)(a+1)}\right)\cdot\dfrac{(a-3)(a+1)}{a+2}-1\)

\(=\left(\dfrac{(a+3)(a-3)}{(a+1)^2(a-3)}+\dfrac{a-1}{(a+1)(a-3)}\right)\cdot\dfrac{(a-3)(a+1)}{a+2}-1\)

\(=\left(\dfrac{(a+3)(a-3)+(a-1)(a+1)}{(a+1)^2(a-3)}\right)\cdot\dfrac{(a-3)(a+1)}{a+2}-1\)

\(=\dfrac{(a^2-9)+(a^2-1)}{(a+1)^2(a-3)}\cdot\dfrac{(a-3)(a+1)}{a+2}-1=\dfrac{2(a^2-5)}{(a+1)(a+2)}-1=\dfrac{a^2-3a-12}{a^2+3a+2}\)

д)

\(\dfrac{3(m+3)}{m^2+3m+9}+\dfrac{m^3-3m^2}{(m+3)^2}\cdot\left(\dfrac{3m}{m^3-27}+\dfrac1{m-3}\right)\)

\(=\dfrac{3(m+3)}{m^2+3m+9}+\dfrac{m^2(m-3)}{(m+3)^2}\cdot\left(\dfrac{3m}{(m-3)(m^2+3m+9)}+\dfrac1{m-3}\right)\)

\(=\dfrac{3(m+3)}{m^2+3m+9}+\dfrac{m^2(m-3)}{(m+3)^2}\cdot\left(\dfrac{3m+m^2+3m+9}{(m-3)(m^2+3m+9)}\right)\)

\(=\dfrac{3(m+3)}{m^2+3m+9}+\dfrac{m^2(m-3)}{(m+3)^2}\cdot\left(\dfrac{(m+3)^2}{(m-3)(m^2+3m+9)}\right)\)

\(=\dfrac{3(m+3)}{m^2+3m+9}+\dfrac{m^2}{m^2+3m+9}=\dfrac{m^2+3m+9}{m^2+3m+9}=1\)

е)

\(\left(\dfrac{9x^2+8}{27x^3-1}-\dfrac1{3x-1}+\dfrac4{9x^2+3x+1}\right)\cdot\dfrac{3x-1}{3x+1}\)

\(=\left(\dfrac{9x^2+8}{(3x-1)(9x^2+3x+1)}-\dfrac{9x^2+3x+1}{(3x-1)(9x^2+3x+1)}+\dfrac{4(3x-1)}{(3x-1)(9x^2+3x+1)}\right)\cdot\dfrac{3x-1}{3x+1}\)

\(=\left(\dfrac{9x^2+8-(9x^2+3x+1)+12x-4}{(3x-1)(9x^2+3x+1)}\right)\cdot\dfrac{3x-1}{3x+1}\)

\(=\left(\dfrac{9x+3}{(3x-1)(9x^2+3x+1)}\right)\cdot\dfrac{3x-1}{3x+1}=\dfrac{3(3x+1)}{(3x-1)(9x^2+3x+1)}\cdot\dfrac{3x-1}{3x+1}=\dfrac{3}{9x^2+3x+1}\)

Пояснения:

Используемые правила и формулы

1) Деление дробей:

\[\dfrac{A}{B}:\dfrac{C}{D}=\dfrac{A}{B}\cdot\dfrac{D}{C}\]

2) Разложение на множители и вынесение общего множителя:

\[uv+uw=u(v+w)\]

3) Разность квадратов:

\[u^2-v^2=(u-v)(u+v)\]

4) Разность кубов:

\[u^3-v^3=(u-v)(u^2+uv+v^2)\]

5) Приведение к общему знаменателю:

\[\dfrac{p}{m}\pm\dfrac{q}{n}=\dfrac{pn\pm qm}{mn}\]

а) Пояснение

Сначала заметили, что \(1-3m=-(3m-1)\), а также разложили:

\[9m^2-6m+1=(3m-1)^2,\quad 6m^2+10m=2m(3m+5).\]

Далее сложили дроби \(-\dfrac{3m}{3m-1}+\dfrac{2m}{3m+1}\) через общий знаменатель \((3m-1)(3m+1)\), сократили \(m\) и \((3m-1)\), после чего получилось выражение вида:

\[\dfrac12-\dfrac{3m-1}{2(3m+1)}=\dfrac{1}{3m+1}.\]

б) Пояснение

Разложили знаменатели:

\[xy^2-x^3=x(y^2-x^2)=x(y-x)(y+x)=-x(x-y)(x+y),\]

\[x^2+xy=x(x+y),\quad y^2+xy=y(x+y).\]

После приведения к общим знаменателям в первой и второй скобках появляется общий множитель \(x^2-xy+y^2\), который сокращается при делении (умножении на обратную дробь). Затем остаётся:

\[-\dfrac{y}{x-y}-\dfrac{x}{x+y}=-\dfrac{x^2+y^2}{x^2-y^2}.\]

в) Пояснение

Замечаем квадрат в знаменателе:

\[4a^2+12a+9=(2a+3)^2,\quad 2a^2+3a=a(2a+3).\]

Поэтому \(\dfrac{2a^2+3a}{4a^2+12a+9}=\dfrac{a}{2a+3}\). Внутри скобок получается \(\dfrac{a-(3a+2)}{2a+3}\), дальше сокращается \((2a+3)\), приводим к общему знаменателю \((2a-3)\) и получаем \(1-\dfrac{a-1}{a}=\dfrac1a\).

г) Пояснение

Разложили:

\[a^2+2a+1=(a+1)^2,\quad a^2-2a-3=(a-3)(a+1).\]

После умножения на \(\dfrac{a^2-2a-3}{a+2}\) сокращается \((a-3)(a+1)\), затем складываем дроби внутри первой скобки через общий знаменатель \((a+1)^2(a-3)\) и получаем:

\[\dfrac{2(a^2-5)}{(a+1)(a+2)}-1=\dfrac{a^2-3a-12}{a^2+3a+2}.\]

д) Пояснение

Разложили:

\[m^3-27=(m-3)(m^2+3m+9),\quad m^3-3m^2=m^2(m-3).\]

В скобках привели к общему знаменателю \((m-3)(m^2+3m+9)\) и получили числитель \((m+3)^2\). Затем сократили \((m-3)\) и \((m+3)^2\), в итоге сумма стала:

\[\dfrac{3(m+3)}{m^2+3m+9}+\dfrac{m^2}{m^2+3m+9}=1.\]

е) Пояснение

Разложили разность кубов:

\[27x^3-1=(3x-1)(9x^2+3x+1).\]

Далее привели три дроби в скобках к общему знаменателю \((3x-1)(9x^2+3x+1)\), получили числитель \(9x+3=3(3x+1)\). После умножения на \(\dfrac{3x-1}{3x+1}\) сократились \((3x-1)\) и \((3x+1)\), осталось:

\[\dfrac{3}{9x^2+3x+1}.\]