Определение геометрической прогрессии. Формула n-го члена геометрической прогрессии.

Определение

То есть последовательность \((b_n)\) - геометрическая прогрессия, если для любого натурального \(n\) выполняются условия

\(b_n\ne0\) и \(b_{n+1}=b_n\cdot q\), где \(q\) - некоторое число. 

Отношение любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, к предыдущему члену равно \(q\), т.е. при любом натуральном \(n\) верно равенство 

\(\frac{b_{n+1}}{b_n}=q.\)

Число  \(q\) называют знаменателем геометрической прогрессии.  Знаменатель геометрической прогрессии всегда отличен от нуля.

Чтобы найти \(b_n\), мы должны \(b_1\) умножить на \(q^{n-1}\), т.е.

\(\bold{ b_n=b_1 \cdot q^{n-1}}\) - формула \(n\) - го члена геометрической прогрессии. 

Пример: зададим геометрическую прогрессию, для этого укажем ее первый член и знаменатель. Пусть \(b_1=3\) и \(q=2\), получим следующую геометрическую прогрессию:

\(3; 6; 12; 24; 48;...\)

Изображение членов прогрессии на координатной плоскости:

1. Арифметическая прогрессия.

Формулу \(n\)-го члена арифметической прогрессии можно записать в виде \(a_n=dn+(a_1-d)\). Этой формулой задается линейная функция. При этом члены арифметической прогрессии будут изображаться на координатной плоскости точками с координатами \((1; a_1), (2; a_2), (3; a_3)\) и т.д. лежащими на прямой вида \(y=kx+l,\) где \(k=d, l=a_1-d.\)  Изобразим на координатной плоскости первые 6 членов арифметической прогрессии

\(1;  1,5;  2;  2,5;  3;  3,5; ...\)

2. Геометрическая прогрессия.

Формулу \(n\)-го члена геометрической прогрессии можно записать в виде \(b_n=\frac{b_1}{q}\cdot q^n.\) Значит, геометрическую прогрессию можно задать формулой вида \(y=ca^x.\) Функция задаваемая данной формулой называют показательной или экспоненциальной функцией. На координатной плоскости члены геометрической прогрессии \((b_n)\) со знаменателем \(q\), где \(q>0, q\ne1,\) изображаются точками с абсциссами 1, 2, 3, ... \(n\), ..., расположенными на кривой, которая является графиком показательной функции \(y=ca^x,\) где \(c=\frac{b_1}{q}, a=q.\)

Изобразим на координатной плоскости первые 5 членов геометрической прогрессии

\(0,5;   1;   2;   4;  8;  ... \).

В рассмотренных случаях говорят о линейном росте членов арифметической прогрессии и об экспоненциальном росте членов геометрической прогрессии.

Свойство геометрической прогрессии:

Пусть последовательность \(b_n\) является геометрической прогрессией, тогда 

\(b_n=b_{n-1}q, b_{n+1}=b_nq.\)

Все члены геометрической прогрессии отличны от нуля, поэтому мы можем записать, что

\(\frac{b_n}{b_{n-1}}=\frac{b_{n+1}}{b_n},\) откуда получаем

\(\bold {b_n^2=b_{n-1}\cdot b_{n+1}}.\)

Верно и обратное утверждении:

Обратите внимание, что из равенства \(b_n^2=b_{n-1}\cdot b_{n+1},\) следует, что \(|b_n|=\sqrt{b_{n-1}\cdot b_{n+1}}.\) Таким образом, модуль любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, является средним геометрическим предыдущего и последующего членов.