Вернуться к содержанию учебника
Упростите:
а) \(\dfrac{x^2-4x}{x^2+7x}:\dfrac{24-6x}{49-x^2}\);
б) \(\dfrac{y^3-16y}{2y+18}:\dfrac{4-y}{y^2+9y}\);
в) \(\dfrac{(a+b)^2-2ab}{4a^2}:\dfrac{a^2+b^2}{ab}\);
г) \(\dfrac{5c^3-5}{c+2}:\dfrac{(c+1)^2-c}{13c+26}\).
Введите текст
а)
\(\dfrac{x^2-4x}{x^2+7x}:\dfrac{24-6x}{49-x^2}=\dfrac{x^2-4x}{x^2+7x}\cdot\dfrac{49-x^2}{24-6x}\)
\(=\dfrac{x(x-4)}{x(x+7)}\cdot\dfrac{(7-x)(7+x)}{6(4-x)}\)
\(=\dfrac{x-4}{x+7}\cdot\dfrac{-(x-7)(x+7)}{-6(x-4)}\)
\(=\dfrac{x-7}{6}\)
б)
\(\dfrac{y^3-16y}{2y+18}:\dfrac{4-y}{y^2+9y}=\dfrac{y^3-16y}{2y+18}\cdot\dfrac{y^2+9y}{4-y}\)
\(=\dfrac{y(y^2-16)}{2(y+9)}\cdot\dfrac{y(y+9)}{4-y}\)
\(=\dfrac{y(y-4)(y+4)}{2(y+9)}\cdot\dfrac{y(y+9)}{-(y-4)}\)
\(=-\dfrac{y^2(y+4)}{2}\)
в)
\(\dfrac{(a+b)^2-2ab}{4a^2}:\dfrac{a^2+b^2}{ab}=\dfrac{(a+b)^2-2ab}{4a^2}\cdot\dfrac{ab}{a^2+b^2}\)
\(=\dfrac{a^2+2ab+b^2-2ab}{4a^2}\cdot\dfrac{ab}{a^2+b^2}\)
\(=\dfrac{a^2+b^2}{4a^2}\cdot\dfrac{ab}{a^2+b^2}=\dfrac{b}{4a}\)
г)
\(\dfrac{5c^3-5}{c+2}:\dfrac{(c+1)^2-c}{13c+26}=\dfrac{5c^3-5}{c+2}\cdot\dfrac{13c+26}{(c+1)^2-c}\)
\(=\dfrac{5(c^3-1)}{c+2}\cdot\dfrac{13(c+2)}{c^2+c+1}\)
\(=\dfrac{5(c-1)(c^2+c+1)}{c+2}\cdot\dfrac{13(c+2)}{c^2+c+1}=65(c-1)\)
Пояснения:
Используемые правила и формулы
1) Деление дробей:
\(\dfrac{A}{B}:\dfrac{C}{D}=\dfrac{A}{B}\cdot\dfrac{D}{C}\)
2) Вынесение общего множителя:
\(uv+uw=u(v+w)\)
3) Разность квадратов:
\(u^2-v^2=(u-v)(u+v)\)
4) Разность кубов:
\(u^3-v^3=(u-v)(u^2+uv+v^2)\)
5) Квадрат суммы:
\((u+v)^2=u^2+2uv+v^2\)
а) Пояснение
Сначала заменили деление на умножение на обратную дробь. Затем разложили на множители:
\(x^2-4x=x(x-4)\), \(\;x^2+7x=x(x+7)\), \(\;49-x^2=(7-x)(7+x)\), \(\;24-6x=6(4-x)\).
Далее учли знаки: \(7-x=-(x-7)\), \(4-x=-(x-4)\), после чего сократили общие множители \((x-4)\) и \((x+7)\).
б) Пояснение
После перехода к умножению разложили:
\(y^3-16y=y(y^2-16)=y(y-4)(y+4)\), \(\;2y+18=2(y+9)\), \(\;y^2+9y=y(y+9)\), \(\;4-y=-(y-4)\).
Сократили \((y+9)\) и \((y-4)\), знак «минус» остался из-за \(\,4-y=-(y-4)\).
в) Пояснение
В числителе первой дроби раскрыли квадрат суммы и привели подобные:
\((a+b)^2-2ab=a^2+2ab+b^2-2ab=a^2+b^2\).
После замены деления умножением сократился общий множитель \((a^2+b^2)\), осталось \(\dfrac{ab}{4a^2}=\dfrac{b}{4a}\).
г) Пояснение
Разложили:
\(5c^3-5=5(c^3-1)=5(c-1)(c^2+c+1)\),
\((c+1)^2-c=c^2+2c+1-c=c^2+c+1\),
\(13c+26=13(c+2)\).
После умножения на обратную дробь сократились \((c+2)\) и \((c^2+c+1)\), получилось \(65(c-1)\).
Вернуться к содержанию учебника