Упражнение 704 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 191

а)

\(x^2 - x - 42 = x^2 - 7x + 6x - 42\)

\(= x(x - 7) + 6(x - 7)\)

\(= (x - 7)(x + 6)\)

б)

\(y^2 + 9y + 18 = y^2 + 6y + 3y + 18\)

\(= y(y + 6) + 3(y + 6)\)

\(= (y + 6)(y + 3)\)

в)

\(81x^2 + 18x + 1 = (9x)^2 + 2\cdot 9x \cdot 1 + 1^2\)

\(= (9x + 1)^2\)

г)

\(16b^2 - 24b + 9 = (4b)^2 - 2\cdot 4b \cdot 3 + 3^2\)

\(= (4b - 3)^2\)

д)

\(6x^2 - x - 1 = 6x^2 - 3x + 2x - 1\)

\(= 3x(2x - 1) + 1(2x - 1)\)

\(= (2x - 1)(3x + 1)\)

е)

\(3a^2 - 13a - 10 = 3a^2 - 15a + 2a - 10\)

\(= 3a(a - 5) + 2(a - 5)\)

\(= (a - 5)(3a + 2)\)

Пояснения:

1. Разложение квадратного трёхчлена способом группировки

Если квадратный трёхчлен имеет вид:

\(ax^2 + bx + c\)

то нужно найти такие числа \(m\) и \(n\), что:

\(m + n = b\)

\(m \cdot n = a \cdot c\)

После этого средний член раскладывается на два слагаемых и применяется способ группировки.

В заданиях а), б), д), е) использован именно этот способ.

2. Формула квадрата суммы

\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)

Задание в):

\(81x^2 + 18x + 1 = (9x + 1)^2\)

3. Формула квадрата разности

\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)

Задание г):

\(16b^2 - 24b + 9 = (4b - 3)^2\)

Почему это работает?

Квадратный трёхчлен можно представить в виде произведения двух линейных выражений. Для этого либо подбирают числа, произведение которых равно \(ac\), а сумма равна \(b\), либо распознают формулы сокращённого умножения.

Итог:

Все трёхчлены разложены либо способом группировки, либо по формулам квадрата суммы и разности.