Упражнение 705 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\small \dfrac{21a^3-6a^2b}{12ab-42a^2}=\dfrac{3a^2(7a-2b)}{6a(2b-7a)}=\)

\(\small =\dfrac{3a^2(-(2b-7a))}{6a(2b-7a)}=\dfrac{-3a^2}{6a}=-\dfrac{a}{2}.\)

б) \(\small\dfrac{6m^3+3mn^2}{2m^3n+mn^3}=\)

\(\small=\dfrac{3m(2m^2+n^2)}{mn(2m^2+n^2)}=\dfrac{3}{n}.\)

в) \(\small \dfrac{x^2-2mx+3x-6m}{x^2+2mx+3x+6m}=\)

\(\small =\dfrac{x(x-2m)+3(x-2m)}{x(x+2m)+3(x+2m)}=\)

\(\small =\dfrac{(x+3)(x-2m)}{(x+3)(x+2m)}=\dfrac{x-2m}{x+2m}.\)

г) \(\small \dfrac{8ab+2a-20b-5}{4ab-8b^2+a-2b}=\)

\(\small =\dfrac{2a(4b+1)-5(4b+1)}{4b(a-2b)+1(a-2b)}=\)

\(\small=\dfrac{(4b+1)(2a-5)}{(4b+1)(a-2b)}=\dfrac{2a-5}{a-2b}.\)

д) \(\small \dfrac{16a^2-8ab+b^2}{16a^2-b^2}=\)

\(\small =\dfrac{(4a-b)^2}{(4a-b)(4a+b)}=\dfrac{4a-b}{4a+b}.\)

е) \(\small \dfrac{9x^2-25y^2}{9x^2+30xy+25y^2}=\)

\(\small=\dfrac{(3x-5y)(3x+5y)}{(3x+5y)^2}=\dfrac{3x-5y}{3x+5y}.\)

ж) \(\small \dfrac{a^2-3a}{a^2+3a-18}=\)

\(\small =\dfrac{a(a-3)}{(a-3)(a+6)}=\dfrac{a}{a+6}\)

\(a^2+3a-18=0\)

\(a'=1,\ b=3,\ c=-18\).

\(D=b^{2}-4ac=\)

\(=3^2 - 4\cdot1\cdot(-18) =\)

\(=9 +72 = 81\),    \(\sqrt D = 9\).

\(a_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt D}{2a'}\)

\(a_{1}=\dfrac{-3+9}{2\cdot1}=\frac{6}{2}=3\)

\(a_{2}=\dfrac{-3-9}{2\cdot1}=\frac{-12}{2}=-6.\)

\(\small a^2+3a-18=(a-3)(a+6).\)

з) \(\small \dfrac{4x^2-8x+3}{4x^2-1}=\dfrac{(2x-3)(2x-1)}{(2x-1)(2x+1)}=\)

\(\small =\dfrac{2x-3}{2x+1}\)

\(4x^2-8x+3=0\)

\(a=4,\ b=-8,\ c=3\).

\(D=b^{2}-4ac=\)

\(=(-8)^2 - 4\cdot4\cdot3 =\)

\(=64-48 = 16\),    \(\sqrt D = 4\).

\(x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt D}{2a}\)

\(x_{1}=\dfrac{8+4}{2\cdot4}=\frac{12}{8}=1,5\)

\(x_{2}=\dfrac{8-4}{2\cdot4}=\frac{4}{8}=0,5\)

\(\small 4x^2-8x+3=4(x-1,5)(x-0,5)=\)

\(\small =(2x-3)(2x-1).\)

и) \(\small \dfrac{m^2+4m-5}{m^2+7m+10}=\)

\(\small =\dfrac{(m-1)(m+5)}{(m+2)(m+5)}=\dfrac{m-1}{m+2}.\)

1. \(m^2+4m-5=0\)

\(a=1,\ b=4,\ c=-5\).

\(D=b^{2}-4ac=\)

\(=4^2 - 4\cdot1\cdot(-5) =\)

\(=16+20 = 36\),    \(\sqrt D = 6\).

\(m_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt D}{2a}\)

\(m_{1}=\dfrac{-4+6}{2\cdot1}=\frac{2}{2}=1\)

\(m_{1}=\dfrac{-4-6}{2\cdot1}=\frac{-10}{2}=-5.\)

\(m^2+4m-5=(m-1)(m+5)\)

2. \(m^2+7m+10=0\)

\(a=1,\ b=7,\ c=10\).

\(D=b^{2}-4ac=\)

\(=7^2 - 4\cdot1\cdot10 =\)

\(=49-40 = 9\),    \(\sqrt D = 3\).

\(m_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt D}{2a}\)

\(m_{1}=\dfrac{-7+3}{2\cdot1}=\frac{-4}{2}=-2\)

\(m_{1}=\dfrac{-7-3}{2\cdot1}=\frac{-10}{2}=-5.\)

\(m^2+7m+10=(m+2)(m+5)\)

Пояснения:

Используемые правила и формулы

1) Вынесение общего множителя:

\(ac+ab=a(c+b)\)

2) Разложение многочлена на множители методом группировки:

\(uv+uw+sv+sw=\)

\(=(u+s)(v+w)\)

3) Разность квадратов двух выражений:

\(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\)

4) Квадрат суммы двух выражений:

\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)

5) Разложение квадратного трёхчлена:

1. Если квадратный трехчлен

\(ax^2 + bx+c\) имеет корни, то его можно разложить на множители

\(ax^2 + bx+c=a(x - x_1)(x-x_2)\),

где  \(x_1\) и \(x_2\) - корни квадратного трёхчлена.

2. При решении уравнений сначала находим дискриминант \(D = b^2 - 4ac\), чтобы определить количество корней. При \(D>0\) уравнение имеет два корня.

3. Корни квадратных уравнений находим по основным формулам корней:

\(x_{1,2}= \frac{-b\pm\sqrt D}{2a}\).

а) \(b_1=\dfrac{243}{256},\ q=\dfrac{2}{3},\ n=8\)

\[b_n=b_1\cdot q^{\,n-1}\]

\(b_8=\dfrac{243}{256}\cdot\left(\dfrac{2}{3}\right)^{7}=\dfrac{\cancel{3^5}}{2^{\cancel8}}\cdot\dfrac{\cancel{2^7}}{{3^{\cancel7}} ^ {\color{blue}{2}}  }=\)

\(=\dfrac{1}{2\cdot 3^2}=\dfrac{1}{2\cdot 9}=\dfrac{1}{18}\).

Ответ: \(b_8=\dfrac{1}{18}\).

б) \(b_1=\sqrt{\dfrac{2}{3}},\ q=-\sqrt{6},\ n=5\)

\[b_n=b_1\cdot q^{\,n-1}\]

\(b_5=\sqrt{\dfrac{2}{3}}\cdot(-\sqrt{6})^{4}=\)

\(=\sqrt{\dfrac{2}{3}}\cdot(\sqrt{6})^{4} =\sqrt{\dfrac{2}{3}}\cdot((\sqrt{6})^{2})^2 =\)

\(=\sqrt{\dfrac{2}{3}}\cdot 6^2 =\sqrt{\dfrac{2}{3}}\cdot 36 \)

\(=\sqrt{\dfrac{2}{3}^ {\color{blue}{\backslash3}}  }\cdot 36 = \sqrt{\dfrac{6}{9}}\cdot 36 =\)

\(=\dfrac{\sqrt{6}}{\cancel3}\cdot \cancel{36}  ^{\color{blue}{12}} =12\sqrt{6}\)

Ответ: \(b_5= 12\sqrt{6}\).

Пояснения:

Используемые формулы и правила:

1) Формула \(n\)-го члена геометрической прогрессии:

\[b_n=b_1 q^{n-1}.\]

2) Свойства степеней:

\(a^m\cdot a^k=a^{m+k},\)

\(\left(\dfrac{a}{b}\right)^n=\dfrac{a^n}{b^n}.\)

3) Чётная степень отрицательного числа положительна.

4) Свойства арифметического квадратного корня:

\((\sqrt a)^2 = a\),

\(\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt a}{\sqrt b}\).