Вернуться к содержанию учебника
Докажите тождество:
а) \((a+2b)(a-2b)(a^2+4b^2)=a^4-16b^4\);
б) \((x-1)(x+1)(x^2+1)(x^4+1)=x^8-1\);
в) \((a-2)(a+2)(a^2-2a+4)(a^2+2a+4)=a^6-64\);
г) \((c^2-c-2)(c^2+c-2)=c^4-5c^2+4\).
Введите текст
а)
\((a+2b)(a-2b)(a^2+4b^2)=(a^2-(2b)^2)(a^2+4b^2)\)
\(=(a^2-4b^2)(a^2+4b^2)\)
\(=(a^2)^2-(4b^2)^2\)
\(=a^4-16b^4\)
б)
\((x-1)(x+1)(x^2+1)(x^4+1)=(x^2-1)(x^2+1)(x^4+1)\)
\(=((x^2)^2-1^2)(x^4+1)\)
\(=(x^4-1)(x^4+1)\)
\(=(x^4)^2-1^2\)
\(=x^8-1\)
в)
\((a-2)(a+2)(a^2-2a+4)(a^2+2a+4)=(a^2-4)(a^2-2a+4)(a^2+2a+4)\)
\(=(a^2-4)((a^2+4)-2a)((a^2+4)+2a)\)
\(=(a^2-4)((a^2+4)^2-(2a)^2)\)
\(=(a^2-4)(a^4+4a^2+16)\)
\(=(a^2)^3-4^3\)
\(=a^6-64\)
г)
\((c^2-c-2)(c^2+c-2)=((c^2-2)-c)((c^2-2)+c)\)
\(=(c^2-2)^2-c^2\)
\(=(c^4-4c^2+4)-c^2\)
\(=c^4-5c^2+4\)
Пояснения:
Используемые формулы и приёмы
1) Разность квадратов:
\(u^2-v^2=(u-v)(u+v)\)
2) Квадрат суммы и разности (для вычисления \((u\pm v)^2\)):
\((u-v)^2=u^2-2uv+v^2\)
\((u+v)^2=u^2+2uv+v^2\)
3) Разность кубов:
\(u^3-v^3=(u-v)(u^2+uv+v^2)\)
а) Почему получается \(a^4-16b^4\)
Сначала перемножаем первые два множителя как разность квадратов:
\((a+2b)(a-2b)=a^2-(2b)^2=a^2-4b^2\)
Далее снова разность квадратов, где \(u=a^2\), \(v=4b^2\):
\((a^2-4b^2)(a^2+4b^2)=(a^2)^2-(4b^2)^2=a^4-16b^4\)
б) Почему получается \(x^8-1\)
Сначала:
\((x-1)(x+1)=x^2-1\)
Потом объединяем \((x^2-1)(x^2+1)\) как разность квадратов при \(u=x^2\), \(v=1\):
\((x^2-1)(x^2+1)=x^4-1\)
И в конце снова разность квадратов при \(u=x^4\), \(v=1\):
\((x^4-1)(x^4+1)=x^8-1\)
в) Почему получается \(a^6-64\)
Сначала:
\((a-2)(a+2)=a^2-4\)
Далее замечаем разность квадратов в паре:
\((a^2-2a+4)(a^2+2a+4)=((a^2+4)-2a)((a^2+4)+2a)=(a^2+4)^2-(2a)^2\)
Раскрываем квадраты:
\((a^2+4)^2=a^4+8a^2+16,\quad (2a)^2=4a^2\)
Значит произведение равно:
\(a^4+8a^2+16-4a^2=a^4+4a^2+16\)
Теперь получаем:
\((a^2-4)(a^4+4a^2+16)\)
Это формула разности кубов при \(u=a^2\), \(v=4\):
\((u-v)(u^2+uv+v^2)=u^3-v^3\)
\((a^2-4)(a^4+4a^2+16)=(a^2)^3-4^3=a^6-64\)
г) Почему получается \(c^4-5c^2+4\)
Представляем множители как \((u-v)(u+v)\), где \(u=c^2-2\), \(v=c\):
\((c^2-c-2)(c^2+c-2)=((c^2-2)-c)((c^2-2)+c)=(c^2-2)^2-c^2\)
Раскрываем квадрат:
\((c^2-2)^2=(c^2)^2-2\cdot c^2\cdot 2+2^2=c^4-4c^2+4\)
Вычитаем \(c^2\):
\(c^4-4c^2+4-c^2=c^4-5c^2+4\)
Вернуться к содержанию учебника