Упражнение 677 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \((x_n)\) - геометрическая прогрессия.

\(q=-\dfrac{1}{3},\ n=5,\ S_n=20\dfrac{1}{3},\)

\(x_1 - ?\) и \(x_n - ?\)

\(S_n=\dfrac{x_1(q^n - 1)}{q-1}\)

\[S_5=\frac{x_1(q^5-1)}{q-1}\]

\(20\dfrac{1}{3}= \frac{x_1\cdot\left(\left(-\dfrac{1}{3}\right)^5-1\right)}{-\dfrac{1}{3}-1}\)

\(\dfrac{61}{3}= \frac{x_1\cdot\left(-\dfrac{1}{243}-1\right)}{-1\dfrac{1}{3}}\)

\(\dfrac{61}{3}= \frac{x_1\cdot\left(-1\dfrac{1}{243}\right)}{-1\dfrac{1}{3}}\)

\(\dfrac{61}{3}= \frac{x_1\cdot\dfrac{244}{243}}{\dfrac{4}{3}}\)

\(\dfrac{61}{3}= x_1\cdot\dfrac{ ^{\color{blue}{61}}\cancel{244}}{_{\color{blue}{81}} \cancel{243}}\cdot\dfrac{\cancel3}{\cancel4}\)

\(\dfrac{61}{3}= x_1\cdot\dfrac{61}{81}\)

\(x_1 = \dfrac{61}{3} : \dfrac{61}{81}\)

\(x_1 = \dfrac{\cancel{61}}{\cancel3} \cdot \dfrac{\cancel{81}  ^{\color{blue}{27}} }{\cancel{61}}\)

\(x_1 = 27\)

\(x_5=x_1q^{4}=27\cdot\left(-\dfrac{1}{3}\right)^4=\)

\(=\cancel{27}\cdot \dfrac{1}{\cancel{81}_{\color{blue}{3}} }=\dfrac{1}{3}\).

Ответ: \(x_1 = 27\), \(x_5=\dfrac{1}{3}\).

б) \((x_n)\) - геометрическая прогрессия.

\(x_1=11,\ x_n=88,\ S_n=165,\)

\(q - ?\) и \(n - ?\)

\(S_n = \dfrac{x_nq - x_1}{q -1}\)

\(165 = \dfrac{88q - 11}{q - 1}\)   \(/\times(q -1)\)

\(165(q-1) = 88q - 11\)

\(165q - 165 = 88q - 11\)

\(165q - 88q = 165 - 11\)

\(77q = 154\)

\(q = \frac{154}{77}\)

\(q = 2\)

\[x_n=x_1q^{n-1}\]

\[88=112^{n-1}\]

\(2^{n-1}=8\)

\(2^{n-1}=2^3\)

\(n - 1 = 3\)

\(n = 3 + 1\)

\(n = 4\)

Ответ: \(q = 2\), \(n = 4\).

в) \((x_n)\) - геометрическая прогрессия.

\(x_1=\dfrac{1}{2},\ q=-\dfrac{1}{2},\ S_n=\dfrac{21}{64},\)

\(n - ?\) и \(x_n - ?\)

\(S_n=\dfrac{x_1(q^n - 1)}{q-1}\)

\(\dfrac{21}{64}= \frac{\dfrac{1}{2}\cdot\left(1-\left(-\dfrac{1}{2}\right)^n\right)}{1-\left(-\dfrac{1}{2}\right)}\)

\(\dfrac{21}{64}= \frac{\dfrac{1}{2}\cdot\left(1-\left(-\dfrac{1}{2}\right)^n\right)}{1+\dfrac{1}{2}}\)

\(\dfrac{21}{64}= \frac{\dfrac{1}{2}\cdot\left(1-\left(-\dfrac{1}{2}\right)^n\right)}{\dfrac{3}{2}}\)

\(\dfrac{21}{64}= \dfrac{1}{\cancel2}\cdot\left(1-\left(-\dfrac{1}{2}\right)^n\right)\cdot\dfrac{\cancel2}{3}\)

\(\dfrac{21}{64}= \dfrac{1}{3}\cdot\left(1-\left(-\dfrac{1}{2}\right)^n\right)\)

\(1-\left(-\dfrac{1}{2}\right)^n = \dfrac{21}{64} : \dfrac{1}{3}\)

\(1-\left(-\dfrac{1}{2}\right)^n = \dfrac{21}{64} \cdot 3\)

\(1-\left(-\dfrac{1}{2}\right)^n = \dfrac{63}{64}\)

\(\left(-\dfrac{1}{2}\right)^n =1 - \dfrac{63}{64}\)

\(\left(-\dfrac{1}{2}\right)^n =\dfrac{1}{64}\)

\(\left(-\dfrac{1}{2}\right)^n =\left(-\dfrac{1}{2}\right)^6\)

\(n = 6\)

\(x_6=x_1q^{5}=\dfrac{1}{2}\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)^5=\)

\(=\dfrac{1}{2}\cdot \left(-\dfrac{1}{32}\right)=-\dfrac{1}{64}\)

Ответ: \(n = 6\), \(x_6 = -\dfrac{1}{64}\).

г) \((x_n)\) - геометрическая прогрессия.

\(q=\sqrt{3},\ x_n=18\sqrt{3},\)

\(S_n=26\sqrt{3}+24,\)

\(x_1 - ?\) и \(n - ?\)

\(S_n = \dfrac{x_nq - x_1}{q -1}\)

\(26\sqrt{3}+24 = \dfrac{18\sqrt{3}\cdot\sqrt{3} - x_1}{\sqrt{3} -1}\)

\(26\sqrt{3}+24 = \dfrac{18\cdot3 - x_1}{\sqrt{3} -1}\)

\(26\sqrt{3}+24 = \dfrac{54 - x_1}{\sqrt{3} -1}\) \(/\times(\sqrt{3} -1)\)

\((26\sqrt{3}+24)(\sqrt{3} -1) = 54 - x_1\)

\(26\sqrt{3}\cdot\sqrt{3} - 26\sqrt{3} + 24\sqrt{3} - 24 = 54 - x_1\)

\(26\cdot3 - 2\sqrt{3} - 24 = 54 - x_1\)

\(78 - 2\sqrt{3} - 24 = 54 - x_1\)

\(54 - 2\sqrt{3} - 24 = 54 - x_1\)

\( x_1 = 54 - 54 + 2\sqrt{3}\)

\( x_1 = 2\sqrt{3}\)

\[x_n=x_1q^{n-1}\]

\(18\sqrt{3} = 2\sqrt{3} \cdot (\sqrt{3})^{n-1}\)

\(18\sqrt{3} = 2\sqrt{3} \cdot (\sqrt{3})^{n-1}\) \(/ : 2\sqrt{3}\)

\(9 = (\sqrt{3})^{n-1}\)

\( (\sqrt{3})^{4} = (\sqrt{3})^{n-1}\)

\(n - 1 = 4\)

\(n = 4 + 1\)

\(n = 5\)

Ответ: \( x_1 = 2\sqrt{3}\), \(n = 5\).

Пояснения:

Правила и формулы для геометрической прогрессии:

\[x_n=x_1q^{\,n-1};\]

\(S_n=\dfrac{x_1(q^n - 1)}{q-1};\)

\(S_n = \dfrac{x_nq - x_1}{q -1}\).

Свойства степени:

\(\left(\frac{a}{b}\right)^k=\frac{a^k}{b^k},\)

\(q^m\cdot q^k=q^{m+k}\).

Свойство корня:

\(\sqrt a \cdot \sqrt a = a\).

а) \((a_n)\) — арифметическая прогрессия.

\(a_1=9\sqrt{3}-2\) и \(d=2-\sqrt{3}\)

\(a_n = a_1 + (n - 1)d\)

\(a_{12}=a_1+(12-1)d=\)

\(=a_1+11d=\)

\(=9\sqrt{3}-2+11(2-\sqrt{3})=\)

\(=9\sqrt{3}-2+22-11\sqrt{3}=\)

\(=(9\sqrt{3}-11\sqrt{3})+(22-2)=\)

\(=-2\sqrt{3}+20\).

б) \((a_n)\) — арифметическая прогрессия.

\(a_1=\dfrac{5\sqrt{3}-7}{3}\) и \(d=\dfrac{\sqrt{3}-2}{3}.\)

\(a_n = a_1 + (n - 1)d\)

\(a_8=a_1+(8-1)d=\)

\(=a_1+7d=\)

\(=\dfrac{5\sqrt{3}-7}{3}+7\cdot\dfrac{\sqrt{3}-2}{3}=\)

\(=\dfrac{5\sqrt{3}-7+7(\sqrt{3}-2)}{3}=\)

\(=\dfrac{5\sqrt{3}-7+7\sqrt{3}-14}{3}=\)

\(=\dfrac{12\sqrt{3}-21}{3}=\dfrac{3(4\sqrt{3}-7)}{3}=\)

\(=4\sqrt{3}-7.\)

Пояснения:

Используемые правила и формулы:

1) Формула \(n\)-го члена арифметической прогрессии:

\[a_n=a_1+(n-1)d.\]

2) При вычислениях с иррациональными числами сначала раскрываются скобки, затем приводятся подобные члены.

а) Подробное пояснение.

Так как прогрессия арифметическая, каждый следующий член получается прибавлением разности \(d\).

Чтобы найти \(a_{12}\), к первому члену нужно прибавить \(11\) раз разность:

\[a_{12}=a_1+11d.\]

После подстановки и раскрытия скобок отдельно собираются слагаемые с \(\sqrt{3}\) и обычные числа.

б) Подробное пояснение.

Аналогично, для нахождения восьмого члена используется формула:

\[a_8=a_1+7d.\]

Так как оба выражения имеют одинаковый знаменатель \(3\), удобно сразу объединить их в одну дробь, а затем упростить результат.