Вернуться к содержанию учебника
Упростите выражение, применив формулу суммы первых \(n\) членов геометрической прогрессии:
а) \(1+x+x^2+x^3+x^4\), где \(x\ne 1\) и \(x\ne 0\);
б) \(1-x+x^2-x^3+x^4-x^5+x^6\), где \(x\ne -1\) и \(x\ne 0\).
Вспомните:
а) \(1+x+x^2+x^3+x^4\),
где \(x\ne 1\) и \(x\ne 0\)
\(b_1 = 1\), \(b_2 = x\), \(n = 5\)
\(q = \dfrac{b_2}{b_1} = \dfrac{x}{1} = x\)
\(S_n=\dfrac{b_1(q^n - 1)}{q-1}\)
\(S_5 = \dfrac{1\cdot(x^5 - 1)}{x-1} =\dfrac{x^5 - 1}{x-1}.\)
Ответ: \(\dfrac{x^5 - 1}{x-1}.\)
б) \(1-x+x^2-x^3+x^4-x^5+x^6\)
где \(x\ne -1\) и \(x\ne 0\).
\(b_1 = 1\), \(b_2 = -x\), \(n = 7\)
\(q = \dfrac{b_2}{b_1} = \dfrac{-x}{1} = -x\)
\(S_n=\dfrac{b_1(q^n - 1)}{q-1}\)
\(S_7 = \dfrac{1\cdot((-x)^7 - 1)}{-x-1} =\)
\(=\dfrac{-(x^7 + 1)}{-(x+1)}=\dfrac{x^7 + 1}{x+1}.\)
Ответ: \(\dfrac{x^7 + 1}{x+1}.\)
Пояснения:
Формула суммы первых \(n\) членов геометрической прогрессии:
\(S_n=\dfrac{b_1(q^n - 1)}{q-1}\), \(q\ne 1\).
Знаменатель геометрической прогрессии:
\(q = \dfrac{b_{n+1}}{b_n} \).
Вернуться к содержанию учебника