Упражнение 678 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 187

\(S_n=\frac{3}{4}(5^n-1)\) - сумма первых \(n\) членов последовательности \((x_n)\).

Доказать: \((x_n)\) - геометрическая прогрессия.

Доказательство:

\[x_n=S_n-S_{n-1}\]

\(x_n=\frac{3}{4}(5^n-1)-\frac{3}{4}(5^{n-1}-1)=\)

\(=\frac{3}{4}\bigl(5^n-1-5^{n-1}+1\bigr)=\)

\(=\frac{3}{4}(5^n-5^{n-1})=\)

\(=\frac{3}{4}\cdot 5^{n-1}(5-1)=\)

\(=\frac{3}{\cancel4}\cdot 5^{n-1}\cdot \cancel4=3\cdot 5^{n-1}.\)

\(\frac{x_{n+1}}{x_n}=\frac{3\cdot 5^{n}}{3\cdot 5^{n-1}}=5\) - не зависит от \(n\), поэтому \((x_n)\) — геометрическая прогрессия со знаменателем \(q=5\).

\(x_1=S_1=\frac{3}{4}\cdot(5^1-1) =\frac{3}{\cancel4}\cdot\cancel4=3\)

Пояснения:

Правила и формулы, которые используются:

\[S_n=x_1+x_2+\dots+x_n\]

\[x_n=S_n-S_{n-1}\]

Последовательность — геометрическая прогрессия, если \(\frac{x_{n+1}}{x_n}=q\) - постоянное число.

\[a^n-a^{n-1}=a^{n-1}(a-1)\]

Так как \(S_n\) — это сумма первых \(n\) членов, то чтобы выделить один \(n\)-й член, вычитаем сумму первых \((n-1)\) членов:

\(S_n=(x_1+x_2+\dots+x_{n-1})+x_n,\)

\(S_{n-1}=x_1+x_2+\dots+x_{n-1}\)

Вычитая, получаем \(x_n=S_n-S_{n-1}\).

Подставляем данную формулу суммы:

\[x_n=\frac{3}{4}(5^n-1)-\frac{3}{4}(5^{n-1}-1)\]

Скобки раскрываем и приводим подобные:

\[x_n=\frac{3}{4}(5^n-5^{n-1})\]

Чтобы упростить выражение, выносим \(5^{n-1}\) за скобку по правилу

\(5^n-5^{n-1}=5^{n-1}(5-1)\):

\[x_n=\frac{3}{4}\cdot 5^{n-1}\cdot 4=3\cdot 5^{n-1}\]

Теперь видно, что каждый следующий член получается умножением на \(5\):

\[\frac{x_{n+1}}{x_n}=\frac{3\cdot 5^{n}}{3\cdot 5^{n-1}}=5\]

Отношение \(\frac{x_{n+1}}{x_n}\) не зависит от \(n\), значит последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем \(q=5\).

Первый член находим подстановкой \(n=1\) в формулу \(S_n=\frac{3}{4}(5^n-1)\), учитывая то, что \(x_1=S_1\).