Вернуться к содержанию учебника
Докажите, что если \((a_n)\) — геометрическая прогрессия, то:
а) \(\,a_2\cdot a_6=a_3\cdot a_5;\)
б) \(\,a_{n-3}\cdot a_{n+8}=a_n\cdot a_{n+5},\) где \(\,n>3.\)
Вспомните:
а) \((a_n)\) — геометрическая прогрессия.
Доказать:
\(\,a_2\cdot a_6=a_3\cdot a_5\).
Доказательство:
\(a_n=a_1q^{n-1},\)
\(a_2=a_1q,\)
\(a_6=a_1q^5,\)
\(a_3=a_1q^2,\)
\(a_5=a_1q^4\)
\(a_1q\cdot a_1q^5=a_1q^2\cdot a_1q^4\)
\(a_1^2q^6=a_1^2q^6\), значит
\[a_2\cdot a_6=a_3\cdot a_5.\]
б) \((a_n)\) — геометрическая прогрессия.
Доказать:
\(\,a_{n-3}\cdot a_{n+8}=a_n\cdot a_{n+5},\) где \(\,n>3.\)
Доказательство:
\(a_n=a_1q^{n-1}\)
\(a_{n-3}=a_1q^{n-4},\)
\(a_{n+8}=a_1q^{n+7},\)
\(a_n=a_1q^{n-1},\)
\(a_{n+5}=a_1q^{n+4}\)
\(a_1q^{n-4}\cdot a_1q^{n+7}=a_1q^{n-1}\cdot a_1q^{n+4}\)
\(a_1^2q^{(n-4+n+7)}=a_1^2q^{(n-1+n+4)}\)
\(a_1^2q^{2n+3}=a_1^2q^{2n+3}\), значит
\[a_{n-3}\cdot a_{n+8}=a_n\cdot a_{n+5}.\]
Пояснения:
Правила, которые используются:
- формула \(n\) - го члена геометрической прогрессии:
\[a_n=a_1q^{\,n-1};\]
- свойство степени:
\[q^m\cdot q^k=q^{m+k}.\]
Вернуться к содержанию учебника