Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии.

Пусть последовательность \(b_n\) - геометрическая прогрессия. Обозначим сумму первых \(n\) её членов через \(S_n\):

\(S_n=b_1+b_2+b_3+\dots+b_{n-1}+b_n\)   \(\bold{(1)}\)

Умножим обе части этого равенства на \(q:\)

\(S_nq=b_1q+b_2q+b_3q+\dots+b_{n-1}q+b_nq.\) 

Учитывая, что  \(b_1q=b_2,\)  \(b_2q=b_3,\)  \(b_3q=b_4, \dots,\) \(b_{n-1}q=b_n\) получим

\(\small S_nq=b_2+b_3+b_4+\dots+b_{n}+b_nq.\)   \(\bold{(2)}\)

Вычтем почленно из равенства \(\bold{(2)}\) равенство \(\bold{(1)}\) и приведем подобные члены:

\(\small  S_nq-S_n=(b_2+b_3+b_4+\dots+b_{n}+b_nq)-\)

\(\small -(b_1+b_2+b_3+\dots+b_{n-1}+b_n) = b_nq-b_1,\)

\(S_n(q-1)=b_nq-b_1\)

Отсюда следует, что при \(q\neq1\)

Мы получили формулу суммы первых \(n\) членов геометрической прогрессии, в которой \(q\neq1\). Если \(q=1\), то все члены прогрессии равны первому члену и \(S_n=nb_1.\) Подставив в эту формулу вместо \(b_n\) выражение \(b_1q^{n-1}\), получим следующую формулу