Вернуться к содержанию учебника
Последовательность \((b_n)\) — геометрическая прогрессия. Докажите, что:
а) если \(b_1>0\) и \(q>1\), то каждый следующий член прогрессии больше предыдущего;
б) если \(b_1>0\) и \(0 < q < 1\), то каждый следующий член прогрессии меньше предыдущего.
в) если \(b_1<0\) и \(q>1\), то каждый следующий член прогрессии меньше предыдущего;
г) если \(b_1 < 0\) и \(0 < q < 1\), то каждый следующий член прогрессии больше предыдущего.
Для каждого из рассмотренных случаев приведите пример.
Вспомните:
а) \((b_n)\) - геометрическая прогрессия,
\(b_1>0,\ q>1\).
Доказать: \(b_{n+1}>b_n\).
Доказательство:
\(q^{n-1}>1\), \(q - 1 > 0\)
\(b_n = b_1q^{n-1} >0\),
\[b_{n+1}=b_n q\]
\(b_{n+1}-b_n=b_nq - b_n =\)
\(=b_n(q-1)>0\), так как
\(b_n > 0\) и \(q - 1 > 0\), значит,
\(b_{n+1}>b_n\).
Пример:
Пусть \(b_1 = 1\), \(q = 2\), тогда
\(b_2 = b_1q = 1\cdot2 = 2\).
\(b_3 = b_2q = 2\cdot2 = 4\).
\(b_4 = b_3q = 4\cdot2 = 8\)
\(8 > 4 > 2 > 1\)
\(b_4 > b_3 > b_2 > b_1\).
б) \((b_n)\) - геометрическая прогрессия,
\(b_1>0\) и \(0 < q < 1\).
Доказать: \(b_{n+1} < b_n\)
Доказательство:
\(q-1<0,\) \(0 < q^{n-1} < 1\).
\(b_n = b_1q^{n-1} >0\),
\(b_{n+1}-b_n=b_n(q-1)<0\)
\[b_{n+1}=b_n q\]
\(=b_n(q-1)<0\), так как
\(b_n > 0\) и \(q - 1 < 0\), значит,
\(b_{n+1} < b_n\)
Пример:
Пусть \(b_1 = 1\), \(q = 0,5\), тогда
\(b_2 = b_1q = 1\cdot0,5 = 0,5\).
\(b_3 = b_2q = 0,5\cdot0,5 = 0,25\).
\(b_4 = b_3q = 0,25\cdot0,5 = 0,125\).
\(0,125 < 0,25 < 0,5 < 1\)
\(b_4 < b_3 < b_2 < b_1\).
в) \((b_n)\) - геометрическая прогрессия,
\(b_1<0,\ q>1\).
Доказать: \(b_{n+1} < b_n\)
Доказательство:
\(q^{n-1}>1\), \(q - 1 > 0\)
\(b_n = b_1q^{n-1} < 0\),
\[b_{n+1}=b_n q\]
\(=b_n(q-1)<0\), так как
\(b_n < 0\) и \(q - 1 > 0\), значит,
\(b_{n+1} < b_n\)
Пример:
Пусть \(b_1 = -1\), \(q = 2\), тогда
\(b_2 = b_1q = -1\cdot2 = -2\).
\(b_3 = b_2q = -2\cdot2 = -4\).
\(b_4 = b_3q = -4\cdot2 = -8\).
\(-8 < -4 < -2 < - 1\)
\(b_4 < b_3 < b_2 < b_1\).
г) \((b_n)\) - геометрическая прогрессия,
\(b_1 < 0\) и \(0 < q < 1\).
Доказать: \(b_{n+1}>b_n\).
Доказательство:
\(q-1<0,\) \(0 < q^{n-1} < 1\).
\(b_n = b_1q^{n-1} < 0\),
\[b_{n+1}=b_n q\]
\(b_{n+1}-b_n=b_nq - b_n =\)
\(=b_n(q-1)>0\), так как
\(b_n < 0\) и \(q - 1 < 0\), значит,
\(b_{n+1}>b_n\).
Пример:
Пусть \(b_1 = -1\), \(q = 0,5\), тогда
\(b_2 = b_1q = -1\cdot0,5 = -0,5\).
\(b_3 = b_2q = -0,5\cdot0,5 = -0,25\).
\(b_4 = b_3q = -0,25\cdot0,5 = -0,125\).
\(-0,125 > -0,25 > -0,5 > -1\)
\(b_4 > b_3 > b_2 > b_1\).
Пояснения:
Используемые правила и формулы:
1) Геометрическая прогрессия задаётся формулой
\[b_{n+1}=b_n\cdot q.\]
2) Для сравнения соседних членов удобно рассматривать разность
\[b_{n+1}-b_n=b_n(q-1).\]
Анализ знака разности.
Знак разности \(b_{n+1}-b_n\) определяется знаками \(b_n\) и \(q-1\). В зависимости от их сочетания получаем возрастание или убывание прогрессии.
Если разность \(b_{n+1}-b_n\) положительна, то \(b_{n+1} > b_n\), а если разность отрицательна, то \(b_{n+1} < b_n\).
Вернуться к содержанию учебника