Вернуться к содержанию учебника
Докажите, что если \(b_n\) и \(b_m\) — члены геометрической прогрессии, знаменатель которой равен \(q\), то \(b_n=b_mq^{\,n-m}\).
Вспомните:
\(b_n\) и \(b_m\) — члены геометрической прогрессии, \(q\) - ее знаменатель.
Доказать:
\(b_n=b_mq^{\,n-m}\).
Доказательство:
\(b_n=b_1q^{n-1},\)
\(b_m=b_1q^{m-1},\Rightarrow b_1=\frac{b_m}{q^{m-1}}\)
\(b_n=\frac{b_m}{q^{m-1}}\cdot q^{n-1}=\)
\(=b_m\cdot\frac{q^{n-1}}{q^{m-1}}=\)
\(=b_mq^{(n-1)-(m-1)}=\)
\(=b_mq^{n-1-m+1}=b_mq^{\,n-m}\)
Пояснения:
Правила, которые используются:
\[b_k=b_1q^{\,k-1}\]
\[\frac{q^a}{q^b}=q^{a-b}\]
\[q^a\cdot q^b=q^{a+b}\]
Так как дана геометрическая прогрессия со знаменателем \(q\), любой её член выражается через первый по формуле \(\,b_k=b_1q^{k-1}\).
Записываем отдельно выражения для членов с номерами \(n\) и \(m\):
\[b_n=b_1q^{n-1},\quad b_m=b_1q^{m-1}\]
Из второй формулы выражаем \(b_1\), чтобы подставить в первую:
\[b_m=b_1q^{m-1}\Rightarrow b_1=\frac{b_m}{q^{m-1}}\]
Подставляем найденное \(b_1\) в выражение для \(b_n\):
\[b_n=\frac{b_m}{q^{m-1}}\cdot q^{n-1}\]
Теперь используем правило степеней: при делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются, то есть \(\frac{q^{n-1}}{q^{m-1}}=q^{(n-1)-(m-1)}\).
Получаем:
\[b_n=b_mq^{(n-1)-(m-1)}=b_mq^{n-m}\]
Следовательно, для любых двух членов геометрической прогрессии выполняется равенство \(\,b_n=b_mq^{\,n-m}\).
Вернуться к содержанию учебника