Упражнение 647 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(-10\frac{1}{2};\ -10\frac{1}{4};\ -10;\ \dots\) - арифметическая прогрессия.

\(a_1=-10\frac{1}{2}=-\frac{21}{2}\)

\(a_2=-10\frac{1}{4}=-\frac{41}{4}\)

\(d=-\frac{41}{4}-\left(-\frac{21}{2}\right)=\)

\(=-\frac{41}{4}+\frac{21}{2} ^{\color{blue}{\backslash2}} =-\frac{41}{4}+\frac{42}{4}=\frac{1}{4}\).

\(a_n=a_1+(n-1)d\)

\(a_n=-\frac{21}{2}+(n-1)\cdot\frac{1}{4}\)

\(a_n=-\frac{21}{2}+\frac{n-1}{4}\)

\(a_n>0\)

\(-\frac{21}{2}+\frac{n-1}{4}>0\)

\(\frac{n-1}{4}>\frac{21}{2}\)    \(/\times 4\)

\(n-1>42\)

\(n > 42 + 1\)

\(n > 43\)

\(n=44\)

\(a_{44}=a_1 + (44 - 1)d=\)

\(=-\frac{21}{2}+43\cdot\frac{1}{4}=-\frac{21}{2} ^{\color{blue}{\backslash2}} +\frac{43}{4}=\)

\(=-\frac{42}{4} +\frac{43}{4}=\frac{1}{4}\).

Ответ: первый положительный член арифметической прогрессии равен \(\frac{1}{4}\).

б) \(8\frac{1}{2};\ 8\frac{1}{3};\ 8\frac{1}{6};\ \dots\) - арифметическая прогрессия.

\(a_1=8\frac{1}{2}=\frac{17}{2}\)

\(a_2=8\frac{1}{3}=\frac{25}{3}\)

\(d=\frac{25}{3} ^{\color{blue}{\backslash2}} -\frac{17}{2} ^{\color{blue}{\backslash3}} =\frac{50}{6}-\frac{51}{6}=-\frac{1}{6}\)

\(a_n=\frac{17}{2}+(n-1)\cdot\left(-\frac{1}{6}\right)\)

\(a_n = \frac{17}{2}-\frac{n-1}{6}\)

\(a_n<0\)

\(\frac{17}{2}-\frac{n-1}{6}<0\)

\(-\frac{n-1}{6}<-\frac{17}{2}\)  \(/\times (-6)\)

\(n-1>51\)

\(n > 51 + 1\)

\(n > 52\)

\(n=53\)

\(a_{53}=a_1 + (53 - 1)d=\)

\(=\frac{17}{2}-52\cdot\frac{1}{6}=\frac{17}{2} ^{\color{blue}{\backslash3}} -\frac{52}{6}=\)

\(=\frac{51}{6} -\frac{52}{6}=-\frac{1}{6}\)

Ответ: первый отрицательный член арифметической прогрессии равен \(-\frac{1}{6}\).

Пояснения:

Используемые правила и формулы:

1) Формула \(n\)-го члена арифметической прогрессии:

\[a_n=a_1+(n-1)d.\]

2) Первый положительный (или отрицательный) член — это член с наименьшим номером, удовлетворяющий неравенству \(a_n>0\) (или \(a_n<0\)).

3) Смешанные числа переводятся в неправильные дроби.

а) Первый положительный член.

Так как прогрессия возрастает (\(d>0\)), её члены постепенно увеличиваются. Поэтому первый положительный член находится решением неравенства \(a_n>0\).

б) Первый отрицательный член.

Так как прогрессия убывает (\(d<0\)), её члены уменьшаются. Поэтому первый отрицательный член находится решением неравенства \(a_n<0\).

а) \(2x^2 - 13x - 34 \geq 0\)

\(y=2x^2 - 13x - 34 \)  - парабола, ветви которой направлены вверх, так как \(a=2>0.\)

\(2x^2 - 13x - 34 = 0\)

\(D =b^2-4ac=\)

\(= (-13)^2 - 4\cdot2\cdot(-34) =\)

\(=169 + 272 = 441>0\) - 2 корня.

\(\sqrt{D} = 21\).

\(x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt D}{2a}\)

\(x_1 = \dfrac{13 - 21}{4} = -2\)

\(x_2 = \dfrac{13 + 21}{4} =8,5.\)

Ответ:  \(x\in(-\infty; -2] \cup [8,5; +\infty).\)

б) \(10x - 4x^2 < 0\)

\(-4x^2 + 10x < 0\)

\(y=-4x^2 + 10x\) - парабола, ветви которой направлены вниз, так как \(a=-4<0.\)

\(-4x^2 + 10x=0\)

\(-2x(2x - 5) = 0\)

\(x=0\)  или \(2x - 5=0\)

                    \(2x=5\)

                    \(x=\frac{5}{2}\)

                    \(x=2,5\)

Ответ:  \(x\in(-\infty; 0)\cup (2,5; +\infty).\)

в) \(\dfrac{x - 4}{2x + 5} \le 0\)

\( \begin{cases} (x - 4)(2x + 5) \le 0 \\ 2x + 5\neq0  \end{cases} \)

\( \begin{cases} (x - 4)(2x + 5) \le 0 \\ 2x\neq-5  \end{cases} \)

\( \begin{cases} (x - 4)(2x + 5) \le 0 \\ x\neq-\frac52  \end{cases} \)

\( \begin{cases} (x - 4)(2x + 5) \le 0 \\ x\neq-2,5 \end{cases} \)

 \((x - 4)(2x + 5) \le 0\)

\((x - 4)(2x + 5) =0\)

\(x - 4=0\)  или  \(2x + 5 =0\)

\(x = 4\)                 \(x = -\dfrac{5}{2}\)

                            \(x = -2,5\)

Ответ: \(x\in(-2,5; 4].\)

Пояснения:

Решение неравенств вида

\(ax^2 + bx + c > 0\) и \(ax^2 + bx + c < 0\):

1) находим дискриминант квадратного трехчлена \(ax^2 + bx + c\) и выясняем имеет ли трехчлен корни;

2) если трехчлен имеет корни, то отмечаем их на оси \(x\) и через отмеченные точки проводим схематически параболу, ветви которой направлены вверх при \(a > 0\) или вниз при \(a < 0\); если трехчлен не имеет корней, то схематически изображают параболу, расположенную в верхней полуплоскости при \(a > 0\) или нижней при \(a < 0\);

3) находят на оси \(x\) промежутки, для которых точки параболы расположены выше оси \(x\) (если решают неравенство \(ax^2 + bx + c > 0\)) или ниже оси \(x\) (если решают неравенство \(ax^2 + bx + c < 0\)).

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

У \(-\infty\) и \(+\infty\) при записи промежутка скобка всегда круглая.

Дискриминант квадратного трехчлена

\(ax^2 + bx + c \):

\(D = b^2 - 4ac\).

Если \(D > 0\), то квадратный трехчлен имеет 2 корня:

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\).

Если \(D = 0\), то квадратный трехчлен имеет 1 корень:

\(x = -\frac{b}{2a}\).

Если \(D < 0\), то квадратный трехчлен не имеет корней.

В случае, когда коэффициент \(c = 0\), то есть имеем двучлен \(ax^2 + bx\), корни находим разложением многочлена на множители \(x(ax + b)\) и используем то, что произведение равно нулю только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю: \(x = 0\)  или \(ax + b = 0\), откуда \(x = -\frac{b}{a}\).

При всех значениях \(x\), при которых дробь \(\frac{x - a}{x-b}\) имеет смысл, знак этой дроби совпадает со знаком произведения \((x - a)(x-b)\), поэтому неравенства \(\frac{x - a}{x-b} \le 0\) и \(\frac{x - a}{x-b} \ge 0\) равносильны системам:

\(\begin{cases} (x-a)(x-b) \le 0, \\ x - b \ne 0;\end{cases}\) и

\(\begin{cases} (x-a)(x-b) \ge 0, \\ x - b \ne 0.\end{cases}\)

При решении неравенств вида \((x-a)(x-b)\dots\) используют метод интервалов.

Находим нули каждого множителя — это точки, в которых знак выражения меняется.

Отмечаем точки на числовой прямой и определяем знак выражения на каждом интервале. Достаточно определить знак на одном интервале, а на остальных расставить знаки так, чтобы они чередовались. Чтобы определить знак на одном из интервалов, нужно взять какое-нибудь значение из рассматриваемого интервала и определить знак функции при этом значении.

Обратите внимание, значение \(x\), при котором знаменатель равен нулю, всегда обозначается "выколотой" (незакрашенной) точкой, независимо от знака неравенства, так как функция в этой точке не существует.

Если знак требуется «>0» — берём интервалы со знаком "+", без корней; если «<0» — интервалы со знаком "–", без корней; если «≥0» — интервалы со знаком "+" и включаем корни; если «≤0» — интервалы со знаком "–" и включаем корни.

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

Если знак неравенства нестрогий (\(\geq\)  или \(\leq\)), то точку на координатной прямой делаем закрашенной, а при записи промежутка используем квадратную скобку.

У \(+\infty\) и \(-\infty\) при записи промежутка скобка всегда круглая.