Вернуться к содержанию учебника
Дана арифметическая прогрессия, первый член которой равен \(2\frac{3}{4}\), а разность равна \(\frac{2}{5}\). Является ли членом этой прогрессии число:
а) \(14\frac{3}{4}\);
б) \(8{,}35\)?
Вспомните:
а) \((a_n)\) - арифметическая прогрессия.
\(a_1 = 2\frac34 = \frac{11}{4}\), \(d = \frac25\).
\[a_n=a_1+(n-1)d\]
\(a_n = 14\frac{3}{4} =\frac{59}{4}\)
\(\frac{11}{4}+(n-1)\cdot\frac{2}{5}=\frac{59}{4}\)
\(\frac{11}{4}+\frac{2(n-1)}{5}=\frac{59}{4}\)
\(\frac{2(n-1)}{5}=\frac{59}{4}-\frac{11}{4}\)
\(\frac{2(n-1)}{5}=\frac{48}{4}\)
\(\frac{2(n-1)}{5}=12\) \(/\times5\)
\(2(n-1)=60\) \(/ : 2\)
\(n-1=30\)
\(n = 30 + 1\)
\(n=31 \in N\)
Ответ: число \(14\frac{3}{4}\) является членом прогрессии.
б) \((a_n)\) - арифметическая прогрессия.
\(a_1 = 2\frac34 = 2,75\),
\(d = \frac25 = 0,4\).
\[a_n=a_1+(n-1)d\]
\(a_n = 8,35\)
\(2,75 + (n - 1)\cdot0,4 = 8,35\)
\((n - 1)\cdot0,4 = 8,35 - 2,75\)
\((n - 1)\cdot0,4 =5,6\)
\(n - 1 = \frac{5,6}{0,4}\)
\(n - 1 = \frac{56}{4}\)
\(n-1=14\)
\(n = 14 + 1\)
\(n=15 \in N\)
Ответ: число \(8{,}35\) является членом прогрессии.
Пояснения:
Используемые правила и формулы:
1) Формула \(n\)-го члена арифметической прогрессии:
\[a_n=a_1+(n-1)d.\]
2) Смешанное число переводится в неправильную дробь.
3) Десятичную дробь можно представить в виде обыкновенной наоборот.
Проверка принадлежности числу прогрессии.
Число является членом арифметической прогрессии тогда и только тогда, когда уравнение
\(a_1+(n-1)d=a_n\) имеет натуральное решение \(n\), то есть \(n \in N\).
Вернуться к содержанию учебника