Вернуться к содержанию учебника
Докажите, что если \((y_n)\) — арифметическая прогрессия, то:
а) \(y_2+y_7=y_4+y_5\);
б) \(y_{n-5}+y_{n+10}=y_n+y_{n+5}\), где \(n>5\).
Вспомните:
а) \((y_n)\) — арифметическая прогрессия.
Доказать:
\(y_2+y_7=y_4+y_5\).
Доказательство:
1) \((y_n)\) — арифметическая прогрессия, тогда
\[y_n=y_1+(n-1)d.\]
\(y_2 = y_1 + d\);
\(y_7 = y_1 + 6d\);
\(y_4 = y_1 + 3d\);
\(y_5 = y_1 + 4d\).
2) \(y_2+y_7=(y_1+ d)+(y_1+6d)=\)
\(=y_1+d+y_1+6d=2y_1+7d\);
\(y_4+y_5=(y_1+3d)+(y_1+4d)\)
\(=y_1+3d+y_1+4d=2y_1+7d\).
\(y_2+y_7=y_4+y_5 = 2y_1 + 7d\)
Что и требовалось доказать
б) \((y_n)\) — арифметическая прогрессия.
Доказать:
\(y_{n-5}+y_{n+10}=y_n+y_{n+5}\),
где \(n>5\).
Доказательство:
1) \((y_n)\) — арифметическая прогрессия, тогда
\[y_n=y_1+(n-1)d.\]
\(y_{n-5} = y_1+(n-5-1)d=\)
\(=y_1+(n-6)d\);
\(y_{n+10} = y_1+(n+10-1)d=\)
\(=y_1+(n+9)d\);
\(y_{n} = y_1+(n-1)d\);
\(y_{n+5} = y_1+(n+5-1)d=\)
\(=y_1+(n+4)d\).
2) \(y_{n-5}+y_{n+10}=(y_1+(n-6)d)+(y_1+(n+9)d)=\)
\(=y_1+(n-6)d+y_1+(n+9)d=\)
\(=2y_1 + ((n-6) + (n + 9))d=\)
\(=2y_1 + (n - 6 + n + 9)d = \)
\(=2y_1 + (2n + 3)d\);
\(y_n+y_{n+5}=(y_1+(n-1)d)+(y_1+(n+4)d)=\)
\(=y_1+(n-1)d+y_1+(n+4)d=\)
\(=2y_1+(2n+3)d\)
\(=2y_1+((n - 1) + (n + 4))d=\)
\(=2y_1+(n - 1 + n + 4)d=\)
\(=2y_1+(2n + 3)d\).
\(y_{n-5}+y_{n+10}=y_n+y_{n+5}\)
Что и требовалось доказать.
Пояснения:
Используемые правила и формулы:
1) Определение арифметической прогрессии:
\(y_{k+1}=y_k+d\),
где \(d\) — постоянная разность.
2) Формула \(n\)-го члена арифметической прогрессии:
\[y_n=y_1+(n-1)d.\]
3) Если два выражения после преобразований дают один и тот же результат, то они равны.
а) \(y_2+y_7=y_4+y_5\).
Записываем члены прогрессии \(y_2\), \(y_7\), \(y_4\), \(y_5\) через первый член \(y_1\) и разность \(d\):
Затем находим суммы
\(y_2+y_7\) и \(y_4+y_5\)
и получаем для них одинаковые выражения, значит суммы равны и между собой.
б) \(y_{n-5}+y_{n+10}=y_n+y_{n+5}\),
где \(n>5\).
Записываем члены прогрессии \(y_{n-5}\), \(y_{n+10}\), \(y_n\), \(y_{n+5}\) через первый член \(y_1\) и разность \(d\):
Затем находим суммы
\(y_{n-5}+y_{n+10}\) и \(y_n+y_{n+5}\)
и получаем для них одинаковые выражения, значит суммы равны и между собой. Условие \(n>5\) нужно, чтобы индекс \(n-5\) был натуральным.
Вернуться к содержанию учебника