Упражнение 648 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \((y_n)\) — арифметическая прогрессия.

Доказать:

\(y_2+y_7=y_4+y_5\).

Доказательство:

1) \((y_n)\) — арифметическая прогрессия, тогда

\[y_n=y_1+(n-1)d.\]

\(y_2 = y_1 + d\);

\(y_7 = y_1 + 6d\);

\(y_4 = y_1 + 3d\);

\(y_5 = y_1 + 4d\).

2) \(y_2+y_7=(y_1+ d)+(y_1+6d)=\)

\(=y_1+d+y_1+6d=2y_1+7d\);

\(y_4+y_5=(y_1+3d)+(y_1+4d)\)

\(=y_1+3d+y_1+4d=2y_1+7d\).

\(y_2+y_7=y_4+y_5 = 2y_1 + 7d\)

Что и требовалось доказать

б) \((y_n)\) — арифметическая прогрессия.

Доказать:

\(y_{n-5}+y_{n+10}=y_n+y_{n+5}\),

где \(n>5\).

Доказательство:

1) \((y_n)\) — арифметическая прогрессия, тогда

\[y_n=y_1+(n-1)d.\]

\(y_{n-5} = y_1+(n-5-1)d=\)

\(=y_1+(n-6)d\);

\(y_{n+10} = y_1+(n+10-1)d=\)

\(=y_1+(n+9)d\);

\(y_{n} = y_1+(n-1)d\);

\(y_{n+5} = y_1+(n+5-1)d=\)

\(=y_1+(n+4)d\).

2) \(y_{n-5}+y_{n+10}=(y_1+(n-6)d)+(y_1+(n+9)d)=\)

\(=y_1+(n-6)d+y_1+(n+9)d=\)

\(=2y_1 + ((n-6) + (n + 9))d=\)

\(=2y_1 + (n - 6 + n + 9)d = \)

\(=2y_1 + (2n + 3)d\);

\(y_n+y_{n+5}=(y_1+(n-1)d)+(y_1+(n+4)d)=\)

\(=y_1+(n-1)d+y_1+(n+4)d=\)

\(=2y_1+(2n+3)d\)

\(=2y_1+((n - 1) + (n + 4))d=\)

\(=2y_1+(n - 1 + n + 4)d=\)

\(=2y_1+(2n + 3)d\).

\(y_{n-5}+y_{n+10}=y_n+y_{n+5}\)

Что и требовалось доказать.

Пояснения:

Используемые правила и формулы:

1) Определение арифметической прогрессии:

\(y_{k+1}=y_k+d\),

где \(d\) — постоянная разность.

2) Формула \(n\)-го члена арифметической прогрессии:

\[y_n=y_1+(n-1)d.\]

3) Если два выражения после преобразований дают один и тот же результат, то они равны.

а) \(y_2+y_7=y_4+y_5\).

Записываем члены прогрессии \(y_2\), \(y_7\), \(y_4\), \(y_5\) через первый член \(y_1\) и разность \(d\):

Затем находим суммы

\(y_2+y_7\) и \(y_4+y_5\)

и получаем для них одинаковые выражения, значит суммы равны и между собой.

б) \(y_{n-5}+y_{n+10}=y_n+y_{n+5}\),

где \(n>5\).

Записываем члены прогрессии \(y_{n-5}\), \(y_{n+10}\), \(y_n\), \(y_{n+5}\) через первый член \(y_1\) и разность \(d\):

Затем находим суммы

\(y_{n-5}+y_{n+10}\)  и  \(y_n+y_{n+5}\)

и получаем для них одинаковые выражения, значит суммы равны и между собой. Условие \(n>5\) нужно, чтобы индекс \(n-5\) был натуральным.

а) \(b_1 = 8,\ q = \dfrac12\)

\(\small S_5=\frac{b_1(q^5-1)}{q-1} =\dfrac{ 8\cdot\Biggl(\left(\dfrac12\right)^5-1\Biggr)}{\dfrac12-1}=\)

\(\small=\dfrac{ 8\cdot\Biggl(\dfrac{1}{32}-1\Biggr)}{-\dfrac12}=\dfrac{ 8\cdot\Biggl(-\dfrac{31}{32}\Biggr)}{-\dfrac12}=\)

\(=\dfrac{ -\dfrac{31}{4}}{-\dfrac12}=\frac{31}{4}:\frac{1}{2}=\)

\(=\frac{31}{4}\cdot2=\frac{31}{2}=15,5.\)

Ответ: \(S_5=15,5.\)

б) \(b_1 = 500,\ q = \dfrac15\)

\(\small S_5=\frac{b_1(q^5-1)}{q-1} =\dfrac{ 500\cdot\Biggl(\left(\dfrac15\right)^5-1\Biggr)}{\dfrac15-1}=\)

\(=\dfrac{ 500\cdot\Biggl(\dfrac{1}{3125}-1\Biggr)}{-\dfrac45}=\)

\(=\dfrac{ 500\cdot\Biggl(-\dfrac{3124}{3125}\Biggr)}{-\dfrac45}=\)

\(=\dfrac{ -\dfrac{20 \cdot 3124}{125}}{-\dfrac45}=\dfrac{20 \cdot 3124}{125}:\frac{4}{5}=\)

\(=\dfrac{20 \cdot 3124}{125}\cdot\frac54=\dfrac{5 \cdot 3124}{25}=\)

\(=\dfrac{3124}{5}=624,8.\)

Ответ: \(S_5=624,8.\)

Пояснения:

Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число \(q\), называемое знаменателем прогрессии.

Сумма первых \(n\) членов геометрической прогрессии при \(q \ne 1\) вычисляется по формуле:

\(S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}\)

В пункте а) знаменатель прогрессии равен \(\dfrac12\), поэтому каждый следующий член в 2 раза меньше предыдущего. Подстановка значений в формулу и последовательное выполнение действий позволяют получить точное значение суммы.

В пункте б) знаменатель равен \(\dfrac15\), поэтому члены прогрессии быстро убывают. После подстановки в формулу сумма выражается дробью, которая затем упрощается до десятичного числа.