Упражнение 651 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 184

а) \(\dfrac{2}{3},\ \dfrac{3}{4},\ \dots\) - арифметическая прогрессия.

\(a_1=\dfrac{2}{3}\),  \(a_2=\dfrac{3}{4}\)

\(d = a_2 - a_1=\dfrac{3}{4} ^{\color{blue}{\backslash3}} -\dfrac{2}{3} ^{\color{blue}{\backslash4}} =\)

\(=\dfrac{9-8}{12}=\dfrac{1}{12}\).

\(S_n=\dfrac{2a_1+d(n-1)}{2}\,n\)

\(S_{10}=\dfrac{2\cdot\frac23+\frac{1}{12}\cdot(10-1)}{\cancel2}\cdot\cancel{10}  ^{\color{red}{5}} =\)

\(=\left(\frac43+\frac{1}{\cancel{12}_{\color{blue}{4}} }\cdot\cancel{9} ^{\color{blue}{3}}\right)\cdot10=\)

\(=\left(\frac43 ^{\color{red}{\backslash4}} +\frac{3}{4} ^{\color{red}{\backslash3}} \right)\cdot5=\)

\(=\left(\frac{16}{12} +\frac{9}{12} \right)\cdot5=\)

\(=\frac{25}{12}\cdot5=\dfrac{125}{12} = 10\dfrac{5}{12}\).

Ответ: \(S_{10} = 10\dfrac{5}{12}\).

б) \(\sqrt{3},\ \sqrt{12},\ \dots\)

\(a_1=\sqrt{3}\)

\(a_2=\sqrt{12}=2\sqrt{3}\)

\(d=2\sqrt{3}-\sqrt{3}=\sqrt{3}\)

\(S_n=\dfrac{2a_1+d(n-1)}{2}\,n\)

\(S_{10}=\dfrac{2\sqrt3+\sqrt3\cdot(10-1)}{\cancel2}\cdot\cancel{10}  ^{\color{red}{5}}=\)

\(=(2\sqrt3+9\sqrt3)\cdot5=\)

\(=11\sqrt3 \cdot 5 =55\sqrt3\).

Ответ: \(S_{10}=55\sqrt{3}\).

Пояснения:

Арифметическая прогрессия задаётся первым членом \(a_1\) и разностью \(d\), которая равна разности между вторым и первым членами:

\[d=a_2-a_1.\]

Сумма первых \(n\) членов арифметической прогрессии может быть найдена по формуле:

\(S_n=\dfrac{2a_1+d(n-1)}{2}\,n\).