Вернуться к содержанию учебника
Последовательность \((a_n)\) — арифметическая прогрессия. Найдите:
а) \(a_{12}\), если \(a_1=9\sqrt{3}-2\) и \(d=2-\sqrt{3}\);
б) \(a_8\), если \(a_1=\dfrac{5\sqrt{3}-7}{3}\) и \(d=\dfrac{\sqrt{3}-2}{3}.\)
Вспомните:
а) \((a_n)\) — арифметическая прогрессия.
\(a_1=9\sqrt{3}-2\) и \(d=2-\sqrt{3}\)
\(a_n = a_1 + (n - 1)d\)
\(a_{12}=a_1+(12-1)d=\)
\(=a_1+11d=\)
\(=9\sqrt{3}-2+11(2-\sqrt{3})=\)
\(=9\sqrt{3}-2+22-11\sqrt{3}=\)
\(=(9\sqrt{3}-11\sqrt{3})+(22-2)=\)
\(=-2\sqrt{3}+20\).
б) \((a_n)\) — арифметическая прогрессия.
\(a_1=\dfrac{5\sqrt{3}-7}{3}\) и \(d=\dfrac{\sqrt{3}-2}{3}.\)
\(a_n = a_1 + (n - 1)d\)
\(a_8=a_1+(8-1)d=\)
\(=a_1+7d=\)
\(=\dfrac{5\sqrt{3}-7}{3}+7\cdot\dfrac{\sqrt{3}-2}{3}=\)
\(=\dfrac{5\sqrt{3}-7+7(\sqrt{3}-2)}{3}=\)
\(=\dfrac{5\sqrt{3}-7+7\sqrt{3}-14}{3}=\)
\(=\dfrac{12\sqrt{3}-21}{3}=\dfrac{3(4\sqrt{3}-7)}{3}=\)
\(=4\sqrt{3}-7.\)
Пояснения:
Используемые правила и формулы:
1) Формула \(n\)-го члена арифметической прогрессии:
\[a_n=a_1+(n-1)d.\]
2) При вычислениях с иррациональными числами сначала раскрываются скобки, затем приводятся подобные члены.
а) Подробное пояснение.
Так как прогрессия арифметическая, каждый следующий член получается прибавлением разности \(d\).
Чтобы найти \(a_{12}\), к первому члену нужно прибавить \(11\) раз разность:
\[a_{12}=a_1+11d.\]
После подстановки и раскрытия скобок отдельно собираются слагаемые с \(\sqrt{3}\) и обычные числа.
б) Подробное пояснение.
Аналогично, для нахождения восьмого члена используется формула:
\[a_8=a_1+7d.\]
Так как оба выражения имеют одинаковый знаменатель \(3\), удобно сразу объединить их в одну дробь, а затем упростить результат.
Вернуться к содержанию учебника