Вернуться к содержанию учебника
Верно ли утверждение, что если \((a_n)\) — арифметическая прогрессия, то:
а) последовательность \(a_2;\ a_4;\ \dots;\ a_{2n};\ \dots\) является арифметической прогрессией;
б) последовательность \(a_1-1;\ a_2-1;\ \dots;\ a_n-1;\ \dots\) является арифметической прогрессией;
в) последовательность \(2a_1;\ 2a_2;\ \dots;\ 2a_n;\ \dots\) является арифметической прогрессией;
г) последовательность \(a_1^2;\ a_2^2;\ \dots;\ a_n^2;\ \dots\) является арифметической прогрессией?
Вспомните:
а) \(a_2;\ a_4;\ \dots;\ a_{2n};\ \dots\) - последовательность.
\(a_n\) - арифметическая прогрессия с разностью \(d\), тогда
\(a_2=a_1+d\);
\(a_4=a_1+3d\);
\(a_6=a_1+5d\);
\(a_{2n}=a_1+(2n-1)d\).
\(a_{2n + 2}=a_1+(2n + 2 -1)d =\)
\(=a_1+(2n +1)d \).
Разности последовательности:
\(a_4 - a_2=(a_1+3d) - (a_1+d)=\)
\(=\cancel{a_1}+3d - \cancel{a_1}-d =2d\);
\(a_6 - a_4=(a_1+5d) - (a_1+3d)=\)
\(=\cancel{a_1}+5d - \cancel{a_1}-3d =2d\);
\(a_{2n + 2} - a_{2n}=(a_1+(2n +1)d) - (a_1+(2n-1)d)=\)
\(=\cancel{a_1} + (2n + 1)d - \cancel{a_1} - (2n-1)d =\)
\(= (2n + 1)d - (2n-1)d =\)
\(= ((2n + 1) - (2n-1))d =\)
\(= (\cancel{2n} + 1 - \cancel{2n}+1)d =2d.\)
Разность в последовательности одинакова и равна \(2d\), значит, последовательность является арифметической прогрессией.
б) \(a_1-1;\ a_2-1;\ \dots;\ a_n-1;\ \dots\) - последовательность.
\(a_n\) - арифметическая прогрессия с разностью \(d\), тогда
\(a_2-1 = a_1 + d - 1\);
\(a_3-1 = a_1 + 2d - 1\);
\(a_n-1 = a_1 + (n-1)d - 1\);
\(a_{n+1}-1) = a_1 + nd - 1\)
Разности последовательности:
\((a_2-1) - (a_1-1) = (a_1 + d - 1) - (a_1 - 1)= \)
\(= \cancel{a_1} + d - \cancel1 - \cancel{a_1} + \cancel1=d \);
\((a_3-1) - (a_2-1) = (a_1 + 2d - 1) - (a_1 + d - 1)= \)
\(= \cancel{a_1} + 2d - \cancel1 - \cancel{a_1} - d + \cancel1= d \)
\((a_{n+1}-1)-(a_n-1)= (a_1 + nd - 1) - (a_1 + (n-1)d - 1)=\)
\(=\cancel{a_1} + nd - \cancel1 - \cancel{a_1} - (n-1)d + \cancel1 =\)
\(= nd - (n-1)d = \)
\(=\cancel{nd} - \cancel{nd} + d = d\).
Разность в последовательности одинакова и равна \(d\), значит, последовательность является арифметической прогрессией.
в) \(2a_1;\ 2a_2;\ \dots;\ 2a_n;\ \dots\) - последовательность.
\(a_n\) - арифметическая прогрессия с разностью \(d\), тогда
\(2a_2 = 2(a_1 + d) = 2a_1 + 2d\);
\(2a_3 = 2(a_1 + 2d) = 2a_1 + 4d\);
\(2a_n = 2(a_1 + (n-1)d) = \)
\(=2a_1 + 2(n-1)d\);
\(2a_{n+1} = 2(a_1 + nd) = 2a_1 + 2nd\);
Разности последовательности:
\(2a_2 - 2a_1= \cancel{2a_1} + 2d - \cancel{2a_1} = 2d\);
\(2a_3 - 2a_2= (2a_1 + 4d) - (2a_1 + 2d)=\)
\( =\cancel{2a_1} + 4d - \cancel{2a_1} - 2d=2d\);
\(2a_{n+1} - 2a_n= (2a_1 + 2nd) - (2a_1 + 2(n-1)d)=\)
\(=\cancel{2a_1} + 2nd - \cancel{2a_1} - 2(n-1)d)=\)
\(=2nd -2(n-1)d = \)
\(=\cancel{2nd} - \cancel{2nd} + 2d = 2d\).
Разность в последовательности одинакова и равна \(2d\), значит, последовательность является арифметической прогрессией.
г) \(a_1^2;\ a_2^2;\ \dots;\ a_n^2;\ \dots\) - последовательность.
\(a_n\) - арифметическая прогрессия с разностью \(d\), тогда
\(a_2^2 = (a_1 + d)^2 =\)
\(=a_1^2 + 2a_1d + d^2\);
\(a_3^2 = (a_1 + 2d)^2 =\)
\(=a_1^2 + 4a_1d + 4d^2\);
\(a_n^2 = (a_1 + (n-1)d)^2 =\)
\(=a_1^2 + 2a_1(n-1)d + ((n-1)d)^2\);
\(a_{n+1}^2 = (a_1 + nd)^2 =\)
\(=a_1^2 + 2a_1nd + (nd)^2\).
Разности последовательности:
\(a_2^2 - a_1^2 = \cancel{a_1^2} + 2a_1d + d^2 - \cancel{a_1^2} =\)
\(=2a_1d + d^2 = d(2a_1 + d)\);
\(a_3^2 - a_2^2 = (a_1^2 + 4a_1d + 4d^2) - (a_1^2 + 2a_1d + d^2) =\)
\(= \cancel{a_1^2} + 4a_1d + 4d^2 - \cancel{a_1^2} - 2a_1d - d^2 =\)
\(=2a_1d + 3d^2 = d(2a_1 + 3d)\).
\(a_2^2 - a_1^2 \neq a_3^2 - a_2^2\)
Разность в последовательности не постоянна, значит, последовательность не является арифметической прогрессией.
Пояснения:
Используемые правила и приёмы:
1) Формула арифметической прогрессии:
\(a_{n+1} = a_n + d\).
2) Последовательность является арифметической, если разность соседних членов постоянна.
а) Члены с чётными номерами.
Рассмотрим последовательность \(a_2, a_4, a_6, \dots\).
\[a_2=a_1+d,\quad a_4=a_1+3d,\quad a_6=a_1+5d.\]
Разность между соседними членами равна:
\[a_4-a_2=2d,\quad a_6-a_4=2d.\]
Следовательно, это арифметическая прогрессия.
б) Вычитание одного и того же числа.
Если из каждого члена арифметической прогрессии вычесть одно и то же число, разность между соседними членами не изменится.
Поэтому последовательность \(a_n-1\) является арифметической прогрессией.
в) Умножение на одно и то же число.
При умножении каждого члена арифметической прогрессии на одно и то же число разность также умножается на это число.
Поэтому последовательность \(2a_n\) является арифметической прогрессией.
г) Возведение в квадрат.
Разность квадратов соседних членов равна:
\[a_{n+1}^2-a_n^2=d(2a_n+d).\]
Это выражение зависит от \(n\), следовательно, разность не является постоянной.
Поэтому последовательность квадратов членов арифметической прогрессии, вообще говоря, не является арифметической.
Вернуться к содержанию учебника