Упражнение 267 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(2x^2 + 5x + 3 > 0\)

\(y = 2x^2 + 5x + 3 \) - парабола, ветви которой направлены вверх, так как \(a = 2 > 0\).

\(2x^2 + 5x + 3 = 0\)

\(D = 5^2 - 4\cdot 2 \cdot 3 = \)

\(=25 - 24 = 1 > 0\) - 2 корня.

\(\sqrt 1 = 1\).

\(x_{1} = \dfrac{-5 - 1}{2\cdot 2} = \dfrac{-6}{4} = -\dfrac{3}{2} = -1,5\)

\(x_{2} = \dfrac{-5 + 1}{2\cdot 2} = \dfrac{-4}{4} = -1\)

Ответ: \(x \in (-\infty; -1,5) \cup (-1; +\infty)\).

б) \(-x^2 - \dfrac{1}{3}x - \dfrac{1}{36}<0\)

\(y = -x^2 - \dfrac{1}{3}x - \dfrac{1}{36}\) - парабола, ветви которой направлены вниз, так как \(a = -1 < 0\).

\(-x^2 - \dfrac{1}{3}x - \dfrac{1}{36}=0\)   \(/\times (-36)\)

\(36x^2 + 12x + 1 =0\)

\(D = 12^2 - 4\cdot36 \cdot1=\)

\(=144 - 144= 0\) - 1 корень.

\(x = -\dfrac{12}{2\cdot36} = -\dfrac{12}{72} = -\frac16\)

Ответ: \(x \in (-\infty ; -\frac16) \cup ( -\frac16; +\infty)\).

Пояснения:

Решение неравенств вида

\(ax^2 + bx + c > 0\) и \(ax^2 + bx + c < 0\):

1) находим дискриминант квадратного трехчлена \(ax^2 + bx + c\) и выясняем имеет ли трехчлен корни;

2) если трехчлен имеет корни, то отмечаем их на оси \(x\) и через отмеченные точки проводим схематически параболу, ветви которой направлены вверх при \(a > 0\) или вниз при \(a < 0\); если трехчлен не имеет корней, то схематически изображают параболу, расположенную в верхней полуплоскости при \(a > 0\) или нижней при \(a < 0\);

3) находят на оси \(x\) промежутки, для которых точки параболы расположены выше оси \(x\) (если решают неравенство \(ax^2 + bx + c > 0\)) или ниже оси \(x\) (если решают неравенство \(ax^2 + bx + c < 0\)).

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

У \(-\infty\) и \(+\infty\) при записи промежутка скобка всегда круглая.

Дискриминант квадратного трехчлена

\(ax^2 + bx + c \):

\(D = b^2 - 4ac\).

Если \(D > 0\), то квадратный трехчлен имеет 2 корня:

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\).

Если \(D = 0\), то квадратный трехчлен имеет 1 корень:

\(x = -\frac{b}{2a}\).

Если \(D < 0\), то квадратный трехчлен не имеет корней.

а) \((6 - x)(x + 6) - (x - 11)x = 36\)

\(\cancel{36} - x^2 - x^2 + 11x - \cancel{36} = 0\)

\(-2x^2 + 11x = 0\)

\(x(-2x +11) = 0\)

\(x = 0\)   или   \(-2x + 11 = 0\)

                       \(-2x = -11\)

                        \(x = \frac{-11}{-2}\)

                        \(x = 5,5\)

Ответ: \(x = 0\),   \(x = 5,5\).

б) \(\dfrac{1 - 3y}{11} - \dfrac{3 - y}{5} = 0\)   \(/\times 55\)

\(5(1 - 3y) - 11(3 - y) = 0\)

\(5 - 15y - 33 + 11y = 0\)

\(-4y -28 = 0\)

\(-4y = 28 \)

\(y = \frac{28}{-4}\)

\(y = -7\)

Ответ: \(y = -7\).

в) \(9x^{2} - \dfrac{(12x - 11)(3x + 8)}{4} = 1\)  \(/\times 4\)

\(36x^2 -(12x - 11)(3x + 8) = 4\)

\(36x^2 - (36x^2 + 96x - 33x - 88) = 4\)

\(36x^2 - (36x^2 + 63x - 88) = 4\)

\(\cancel{36x^2} - \cancel{36x^2} - 63x + 88 = 4\)

\(-63x + 88 = 4\)

\(-63x = 4 - 88\)

\(-63x = -84\)

\(x = \frac{-84}{-63}\)

\(x = \frac{84}{63}\)

\(x = \frac{4}{3}\)

\(x = 1\frac{1}{3}\)

Ответ: \(x = 1\dfrac{1}{3}\).

г) \(\dfrac{(y + 1)^{2}}{12} - \dfrac{1 - y^{2}}{24} = 4\)   \(/\times 24\)

\(2(y + 1)^2 -(1 - y^2) = 96\)

\(2(y^2 + 2y + 1) -1 + y^2 = 96\)

\(2y^2 + 4y + 2 - 1 + y^2 - 96 = 0\)

\(3y^{2} + 4y - 95 = 0\)

\(a = 3\),  \(b = 4\),  \(c = -95\)

\(D = b^2 - 4ac = \)

\(=4^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (-95) =\)

\(=16 + 1140 = 1156\)

\(x_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt D}{2a}\),    \(\sqrt{D} = 34\)

\(y_{1} = \dfrac{-4 + 34}{2\cdot3} = \dfrac{30}{6} = 5.\)

\(y_{2} = \dfrac{-4 - 34}{2\cdot3} = \dfrac{-38}{6} = \)

\(=-\dfrac{19}{3} = -6\frac13.\)

Ответ: \(y = 5,\; y = -6\dfrac{1}{3}\).

Пояснения:

Основные правила, которые использовались при решении всех уравнений:

1) Раскрытие скобок по формуле:

\[(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd.\]

2) Перенос слагаемых из одной части уравнения в другую с изменением знака.

3) Вынесение общего множителя за скобки, например:

\(ax + ay = a(x + y).\)

4) Работа с дробями: приведение к общему знаменателю, умножение обеих частей уравнения на общий знаменатель.

5) Решение квадратного уравнения:

\(ax^{2} + bx + c = 0,\)

\(D = b^{2} - 4ac,\)

\(x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}.\)