Упражнение 60 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\begin{cases} x - y = 1, \\ xy = 240 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x = y + 1, \\ (y+1)y = 240 \end{cases}\)

\((y+1)y = 240\)

\(y^2 + y - 240 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = 1\),  \(c = -240\)

\(D = b^2 - 4ac = \)

\(=1^2 - 4\cdot1\cdot(-240)=\)

\(=1 + 960 = 961 > 0\) - уравнение имеет 2 корня.

\(\sqrt{961} = 31\).

\(y_{1,2} = \dfrac{-b\pm\sqrt D}{2a}\)

\(y_1 = \dfrac{-1 + 31}{2\cdot1} = \dfrac{30}{2} = 15.\)

\(y_2 = \dfrac{-1 - 31}{2\cdot1} = \dfrac{-32}{2} = -16.\)

Если \(y = 15\), то

\(x = 15 + 1 = 16.\)

Если \(y = -16\), то

\(x = -16 + 1 = -15.\)

Ответ: \((16, 15)\); \((-15, -16)\).

б) \(\begin{cases} x^{2} + y^{2} = 65, \\ 2x - y = 15 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x^{2} + (2x-15)^{2} = 65, \\ y = 2x-15 \end{cases}\)

\(x^{2} + (2x-15)^{2} = 65\)

\(x^2 + 4x^2 - 60x + 225 - 65 = 0\)

\(5x^2 - 60x + 160 = 0\)   \(/ : 5\)

\(x^2 - 12x + 32 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = -12\),  \(c = 32\)

\(D = b^2 - 4ac = \)

\(=(-12)^2 - 4\cdot1\cdot32=\)

\(=144 - 128 = 16 > 0\) - уравнение имеет 2 корня.

\(\sqrt{16} = 4\).

\(x_{1,2} = \dfrac{-b\pm\sqrt D}{2a}\)

\(x_1 = \dfrac{12 + 4}{2\cdot1} = \dfrac{16}{2} = 8.\)

\(x_2 = \dfrac{12 - 4}{2\cdot1} = \dfrac{8}{2} = 4.\)

Если \(x = 8\), то

\( y =2\cdot8 - 15 = 16 - 15 = 1. \)

Если \(x = 4\), то

\( y =2\cdot4 - 15 = 8 - 15 = -7. \)

Ответ: \((8,\, 1)\); \((4,\, -7)\).

Пояснения:

1. В обоих случаях используется метод подстановки: выражаем одну переменную через другую и подставляем во второе уравнение.

2. Полученные квадратные уравнения решаются по формуле корней с вычислением дискриминанта.

3. После нахождения одной переменной возвращаемся в выражение для второй переменной и, подставляя в это выражение первую переменную, находим вторую.

а) \(10x^{2}+5x-5=0\)  \(/\ : 5\)

\(2x^{2}+x-1=0\)

\(a = 2\),  \(b = 1\),  \(c =-1\)

\(D=b^2 - 4ac=1^{2}-4\cdot2\cdot(-1)=\)

\(=1+8=9\),     \(\sqrt D = 3\).

\(x_{1,2}= \frac{-b\pm\sqrt D}{2a}\)

\(x_{1}=\dfrac{-1+3}{2\cdot2}=\dfrac24=\dfrac12\).

\(x_{2}=\dfrac{-1-3}{2\cdot2}=\dfrac{-4}{4}=-1.\)

Ответ: \(\dfrac12;   -1\).

б) \(-2x^{2}+12x-18=0\)   \(/\ : (-2)\)

\(x^{2}-6x+9=0\)

\(a = 1\),  \(b = -6\),  \(c =9\)

\(D=b^2 - 4ac=(-6)^2 - 4\cdot1\cdot9 =\)

\(=36 - 36 = 0\).

\(x=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{-6}{2\cdot1} = \dfrac{6}{2} = 3\)

Ответ: \(3\).

в) \(x^{2}-2x-4=0\)

\(a = 1\),  \(b = -2\),  \(c =-4\)

\(D=b^2 - 4ac=\)

\(=(-2)^{2}-4\cdot1\cdot(-4)=\)

\(=4+16=20\).

\(\sqrt D = \sqrt{20} = \sqrt{4\cdot5} = 2\sqrt{5}\).

\(x_{1,2}= \frac{-b\pm\sqrt D}{2a}\)

\(x_{1,2}=\dfrac{-(-2)\pm2\sqrt5}{2\cdot1}=\dfrac{2\pm2\sqrt5}{2}=\)

\(=\dfrac{\cancel2(1\pm\sqrt5)}{\cancel2}=1\pm\sqrt5.\)

Ответ: \(1+\sqrt5;   1-\sqrt5\).

г) \(12x^{2}-12=0\)

\(12x^{2}=12\)

\(x^{2}=\frac{12}{12}\)

\(x^{2}=1\)

\( x=\pm\sqrt1\).

\( x=\pm1\).

Ответ: \(-1;   1\).

Пояснения:

Значение переменной, при котором трехчлен обращается в нуль, называют корнем трехчлена.

Использованные правила:

1) Корни уравнения не изменяются, если обе части уравнения умножить или разделить на дои то же число.

2) Количество корней квадратного уравнения \(ax^2+bx+c=0\) зависит от дискриминанта. Формула дискриминанта:

\(D=b^2-4ac\).

– если \(D>0\), то уравнение имеет два корня:

\(x_1 =\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\);

\(x_2 =\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\).

– если \(D=0\), то уравнение имеет один корень:

\(x =-\frac{b}{2a}\).

– если \(D<0\), то уравнение не имеет корней.

3) В пункте г) неполное квадратное уравнение вида \(ax^2 = b\), которое имеет корни \(x_{1,2} = \pm\sqrt{\frac{b}{a}}\).